Тогда, например, для семейства функций Хьюбера (4) при
k
2
(1
,
5; 2)
М-оценки почти не уступают в эффективности оценкам
наименьших квадратов при
γ
= 0
в (5) и почти так же эффективны, как
оценки наименьших модулей при
γ
2
(0
,
05; 0
,
2)
, когда эффективность
оценок наименьших квадратов невысока (см. [7]).
Предположим теперь, что вместо поля
X
ij
наблюдается поле
Y
ij
вида
Y
ij
=
X
ij
+
ν
ij
ζ
ij
,
(6)
где
ζ
ij
— независимые одинаково распределенные случайные величи-
ны, а
ν
ij
— независимые бернуллиевские случайные величины, при-
нимающие значения 1 и 0 с вероятностями
δ
и
1
−
δ
соответственно,
0
≤
δ
≤
1
. Предположим, что поля
ε
ij
,
ν
ij
и
ζ
ij
не зависят друг от друга.
Модель (6) описывает загрязнение поля
X
ij
небольшой долей
δ
(обыч-
но на практике
0
< δ <
0
,
2
) случайных ошибок
ζ
ij
. Например, при
измерении поля
X
ij
с вероятностью
δ
происходит сбой измеритель-
ной аппаратуры, и во время сбоя вместо
X
ij
наблюдается
ζ
ij
. В этом
случае М-оценки теряют эффективность.
Дело в том, что если
ρ
— выпуклая дифференцируемая функция, то
минимизация
L
M
(
a
)
в (3) равносильна решению системы уравнений
L
M
(
a
) = 0
,
(7)
где
L
M
(
a
) =
m
X
i
=1
n
X
j
=1
ψ X
ij
−
˜
X
T
ij
a
˜
X
ij
,
(8)
ψ
(
x
) =
ρ
0
(
x
)
,
˜
X
ij
= (
X
i
−
1
,j
, X
i,j
−
1
, X
i
−
1
,j
−
1
)
T
, а
T
— символ операции
транспонирования. Потеря эффективности М-оценок при загрязнени-
ях (6) связана с неограниченным множителем
˜
X
ij
в системе уравне-
ний (7), влияние которого на решение этой системы может быть сколь
угодно велико при замене
X
ij
на
Y
ij
вида (6) и достаточно больших
значениях
ζ
ij
в (6).
Определим обобщенные М-оценки параметра
a
как решение си-
стемы
L
GM
(
a
) = 0
,
(9)
где
L
GM
(
a
) =
m
X
i
=1
n
X
j
=1
ψ X
ij
−
˜
X
T
ij
a g
ij
( ˜
X
)
,
(10)
g
ij
( ˜
X
) = (
g
(
X
i
−
1
,j
)
, g
(
X
i,j
−
1
)
, g
(
X
i
−
1
,j
−
1
))
T
, а
g
— некоторая функция.
Выбрав в качестве
g
ограниченную функцию, можно ограничить влия-
ние экстремальных значений
ζ
ij
на решение уравнения (9). Например,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
5
