+
E
[
ψ
(
ε
11
−
a
(0)
10
ζ
10
)(
g
(
X
01
)
, g
(
X
10
+
ζ
10
)
, g
(
X
00
))
T
]+
+
E
[
ψ
(
ε
11
−
a
(0)
00
ζ
00
)(
g
(
X
01
)
, g
(
X
10
)
, g
(
X
00
+
ζ
00
))
T
]
.
Теорема доказана.
Из теоремы следует, что если функции
ψ
и
g
ограничены, то функ-
ционал влияния обобщенных М-оценок ограничен и коэффициент чув-
ствительности к большой ошибке будет конечным.
Для обычных М-оценок
g
(
x
) =
x
и поэтому
E
[
g
(
X
ij
)] =
E
[
X
ij
] = 0
,
а
B
— ковариационная матрица вектора
(
X
01
, X
10
, X
00
)
, следовательно,
IF
(
a
(
δ
)
, F
ζ
) =
=
1
E
[
ψ
0
(
ε
11
)]
B
−
1
E
[
ψ
(
ε
11
−
a
(0)
01
ζ
01
)
ζ
01
]
,
E
[
ψ
(
ε
11
−
−
a
(0)
10
ζ
10
)
ζ
10
]
,
E
[
ψ
(
ε
11
−
a
(0)
00
ζ
00
)
ζ
00
]
T
.
(16)
Видно, что ограниченность функции
ψ
уже не является достаточ-
ной для конечности
GES
(
F
, a
(
δ
))
. Если
ψ
ограничена, но
sup
C
2
R
E
[
ψ
(
ε
11
−
a
(0)
11
C
)
C
=
∞
,
то
IF
(
a
(
δ
)
, F
ζ
)
может быть сколь угодно большим для такой
ψ
, на-
пример, если ошибки
ζ
ij
=
C
являются неслучайными, т.е.
ζ
ij
=
C
,
где
C
2
R
— произвольная постоянная. Поэтому если класс распреде-
лений
F
содержит всевозможные
δ
-функции (функции распределения
постоянных
C
,
C
2
R
), то коэффициент чувствительности к боль-
шой ошибке для обычных М-оценок может быть неограниченным и
М-оценки в этом случае будут неробастными, вообще говоря, даже
для ограниченной функции
ψ
(
x
)
.
Обозначив плотности случайных величин
ε
ij
и
ζ
ij
через
f
ε
(
x
)
и
f
ζ
(
x
)
, получим, что
E
[
ψ
(
ε
11
−
a
(0)
ij
ζ
ij
)
ζ
ij
] =
Z
∞
−∞
ψ
(
x
−
a
(0)
ij
y
)
yf
ε
(
x
)
f
ζ
(
y
)
dxdy.
Отсюда следует, что для конечности коэффициента чувствительности
к большой ошибке достаточно условия
sup
(
x,y
)
2
R
2
ψ
(
x
−
a
(0)
ij
y
)
y <
∞
.
Вычислим функционал влияния для двух частных случаев
М-оценок — оценок наименьших модулей и оценок наименьших квад-
ратов.
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
