в качестве
g
можно взять половину производной
1
2
ρ
0
H
(
x
) =
(
x,
если
|
x
| ≤
k,
k,
если
|
x
|
> k,
ρ
-функции Хьюбера (4). В этом случае, если
X
i
−
1
,j
,
X
i,j
−
1
,
X
i
−
1
,j
−
1
невелики, то слагаемое
ψ
(
X
ij
−
˜
X
T
ij
a
)
g
ij
( ˜
X
)
в (10) совпадает со слагае-
мым
ψ
(
X
ij
−
˜
X
T
ij
a
) ˜
X
ij
в (8). В противном случае вектор
ψ
(
X
ij
−
˜
X
T
ij
a
)
g
ij
( ˜
X
)
будет “подрезан” и его длина никогда не пре-
высит
k
2
√
3
.
В работах [6–8] чувствительность обобщенных М-оценок,
М-оценок и оценок наименьших модулей к загрязнениям вида (6)
исследовалась c помощью компьютерного моделирования. Показано,
что с ростом
δ
в (6) разность между оценкой параметра
a
и самим па-
раметром увеличивается, что может свидетельствовать о смещенности
этих оценок. Возникает необходимость в количественной оценке этого
смещения, например, как это было сделано для более простых моде-
лей путем определения кривой чувствительности, кривой влияния и
функции влияния [9, 10].
Определения и свойства функционала влияния и коэффициен-
та чувствительности к большой ошибке.
В работах [6–8] доказана
состоятельность обобщенных М-оценок, М-оценок и оценок наимень-
ших модулей при
δ
= 0
в (6). Исследуем поведение этих оценок при
δ >
0
.
Предположим, что
ˆ
a
mn
— оценка параметра
a
и при
m, n
→ ∞
по
вероятности
ˆ
a
mn
→
a
(
δ
)
. Если
δ
6
= 0
, то оценка
ˆ
a
mn
, вообще говоря,
перестает быть состоятельной, т.е.
a
(
δ
)
6
=
a
(0)
. Определим функционал
влияния
IF
(
a
(
δ
)
, F
ζ
)
оценки
ˆ
a
mn
по формуле
IF
(
a
(
δ
)
, F
ζ
) =
d
dδ
a
(
δ
)
δ
=0
;
IF
(
a
(
δ
)
, F
ζ
)
характеризует величину главного линейного члена в раз-
ложении асимптотического смещения
a
(
δ
)
−
a
(0)
=
IF δ
+
o
(
δ
)
, δ
→
0
,
и зависит от
a
(
δ
)
и от функции распределения
F
ζ
случайной величи-
ны
ζ
11
.
Лучше других противостоять засорениям вида (6) наблюдений
X
ij
будут оценки с ограниченным
IF
(
a
(
δ
)
, F
ζ
)
. Обозначим через
F
мно-
жество возможных функций распределения случайных величин
ζ
ij
.
Назовем величину
GES
(
F
, a
(
δ
)) = sup
F
ζ
2
F
|
IF
(
a
(
δ
)
, F
ζ
)
|
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
