Замечание.
Так как случайные поля
X
ij
,
ν
ij
,
ζ
ij
предполагаются
стационарными, то поле
Z
ij
=
ψ Y
ij
−
˜
Y
T
ij
a g
ij
( ˜
Y
)
как измеримая
функция от
X
ij
,
ν
ij
,
ζ
ij
также будет стационарным полем [11, с. 170,
182]. Поэтому по закону больших чисел для стационарных функций
[11, с. 181] при
m, n
→ ∞
L
mn
(
a
)
→
L
(
δ, a
)
и при разумном выборе функций
ψ
и
g
оценка
ˆ
a
mn
как решение уравне-
ния
L
mn
(
a
) = 0
стремится к
a
(
δ
)
— решению уравнения
L
(
δ, a
(
δ
)) = 0
.
Доказательство теоремы.
Из условия теоремы следует, что по
теореме о неявной функции в некоторой окрестности точки
(0
, a
(0)
)
уравнение
L
(
δ, a
) = 0
определяет однозначную дифференцируемую
функцию
a
=
a
(
δ
)
и
da
dδ
δ
=0
=
−
∂L
(
δ, a
)
∂δ
δ
=0
a
=
a
(0)
∂L
(
δ, a
)
∂a
δ
=0
a
=
a
(0)
.
Определим полную группу событий:
H
ijkl
=
{
ν
11
=
i, ν
01
=
j, ν
10
=
k, ν
00
=
l
}
, i, j, k, l
= 0
,
1
.
По формуле полного математического ожидания [12, с. 90, 230]
L
(
δ, a
) =
1
X
i,j,k,l
=0
E
h
ψ Y
11
−
˜
Y
T
11
a g
11
( ˜
Y
)
|
H
ijkl
i
P
(
Y
ijkl
) =
=
1
X
i,j,k,l
=0
δ
i
+
j
+
k
+
l
(1
−
δ
)
4
−
i
−
j
−
k
−
l
E
h
ψ Y
11
−
˜
Y
T
11
a g
11
( ˜
Y
)
|
H
ijkl
i
,
где
E
h
ψ Y
11
−
˜
Y
T
11
a g
11
( ˜
Y
)
|
H
ijkl
i
не зависит от
δ
. Поэтому
∂L
(
δ, a
)
∂δ
δ
=0
a
=
a
(0)
=
=
E
h
ψ Y
11
−
˜
Y
T
11
a
(0)
g
11
( ˜
Y
)
|
H
1000
i
+
+
E
h
ψ Y
11
−
˜
Y
T
11
a
(0)
g
11
( ˜
Y
)
|
H
0100
i
+
+
E
h
ψ Y
11
−
˜
Y
T
11
a
(0)
g
11
( ˜
Y
)
|
H
0010
i
+
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
