где
α <
1
— параметр, определяемый характером распределения мас-
сы частицы по объему (предположим, что распределение будет симме-
тричным относительно оси вращения);
ρ
0
— средняя плотность мате-
риала частицы. Уравнение для вращательного движения броуновской
частицы имеет вид
I
d
Ω(
t
)
dt
=
M
0
(
t
) +
M
r
(
t
) +
ξ
M
(
t
)
,
(1)
где
Ω(
t
)
— компонента угловой скорости вращения броуновской части-
цы относительно выбранной оси;
M
0
(
t
)
— моментдетерминированных
(остальных) сил, действующих на броуновскую частицу (далее при-
мем, что он равен нулю);
M
r
(
t
)
— моментсилы сопротивления;
ξ
M
(
t
)
—
случайный моментсил.
Классическое описание броуновского вращательного движения
предполагает, что момент силы сопротивления пропорционален угло-
вой скорости
M
r
(
t
) =
−
8
πρνR
3
Ω (
t
)
.
(2)
В этом случае в отсутствие остальных сил, действующих на частицу,
ее уравнение вращательного движения принимает следующий вид:
d
Ω(
t
)
dt
+
8
πρνR
3
I
Ω (
t
) =
1
I
ξ
M
(
t
)
.
(3)
Случайный моментсил
ξ
M
(
t
)
можно принять белым шумом ин-
тенсивностью
σ
= 16
πρνR
3
k
B
T,
(4)
где
k
B
— постоянная Больцмана;
T
— температура. Среднее значение
случайного момента сил
ξ
M
равно нулю, а его дисперсия
ξ
2
M
может
быть представлена выражением, не зависящим от времени:
ξ
2
M
=
σ
δt
=
16
πρνR
3
k
B
T
δt
,
где
δt
— характерное время, сопоставимое с временем хаотизации
среды (в частности, для газа — это время, близкое к времени соударе-
ния молекул [1]). Величина
Δ
ω
= 1
/δt
соответствует ширине спектра
мощности флуктуаций процесса
ξ
M
(
t
)
.
Одномерную характеристическую функцию
g
0
1
(
λ
;
t
)
процесса
Ω(
t
)
можно найти из уравнения (3) с использованием теории стохастиче-
ских дифференциальных систем [2]:
g
0
1
(
λ
;
t
) = exp
−
σλ
2
16
πρνR
3
I
1
−
exp
−
16
πρνR
3
I
t
.
(5)
При
t
→ ∞
выражение (5) принимаетвид
g
0
1
(
λ
;
t
)
t
→∞
= exp
−
σλ
2
16
πρνR
3
I
;
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 4
5
