приравняем полученное значение
M
r
(
t
)
выражению (14) и определяем
силу сопротивления
F
S
(
t
) =
−
ρ
ν
π
t
0
dV
(
τ
)
dτ
dτ
√
t
−
τ
.
(15)
Выражение (15) можно получить, решая задачу гидродинамики для
одномерного движения плоской поверхности в вязкой среде [7]. Такое
движение поверхности с действующей на нее силой трения (15), а
также случайной ланжевеновской силой рассмотрено в работе [8]. В
настоящей работе показано, что флуктуации скорости поверхности в
этом случае представляют собой немарковский случайный процесс,
имеющий характер фликкер-шума.
Подставляя (14) в (1), получаем
β
(
t
) +
8
√
πν
3
I
R
4
ρ
t
0
β
(
τ
)
dτ
√
t
−
τ
=
1
I
ξ
M
(
t
)
,
(16)
где
β
(
t
) =
d
Ω (
t
)
/dt
— угловое ускорение тела.
Формула (16) не сводится к конечной системе дифференциальных
операторов, поэтому уравнение динамики вращательного движения
частицы оказывается стохастическим интегральным уравнением Воль-
терра второго рода, что означает немарковский характер флуктуаций
определяемых с его помощью величин, включая угловую скорость и
угловое ускорение [9].
Решение уравнения (16) можетбыть записано с использованием
его резольвенты
K
(
t
−
τ
)
[10]:
β
(
t
) =
1
I
ξ
M
(
t
)
−
t
0
K
(
t
−
τ
)
ξ
M
(
τ
)
dτ,
(17)
где
K
(
t
−
τ
) =
1
t
−
τ
∞
n
=1
(
−
1)
n
+1
q
n
(
t
−
τ
)
n/
2
;
q
n
=
8
π
3
n
R
4
n
ρ
n
ν
n/
2
Γ (
n/
2)
I
n
+1
.
(18)
Здесь
Γ(
x
)
— гамма-функция. Расчетная зависимость
K
(
t
−
τ
)
при-
ведена на рис. 1. При ее построении было принято, что
R
= 10
−
3
м,
ρ
= 10
3
кг/м
3
,
ν
= 10
−
6
м
2
/с,
I
= (4
/
3)
απρ
0
R
5
,
α
= 1
/
2
,
ρ
0
=
ρ
. С воз-
растанием разности
t
−
τ
наблюдается резкое уменьшение значения
функции
K
(
t
−
τ
)
.
Оставляя два первых члена ряда (18), при
t
−
τ
1
для реальных
размеров частиц и параметров среды (в частности, для указанных
выше) получаем
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 4
