Вследствие линейности момент
M
r
(
t
)
будетопределяться как сумма
моментов сил сопротивления, действующих на частицу, которая дви-
жется с угловой скоростью, равной отдельной компоненте Фурье (11)
и определяющейся по (8). Для компоненты
M
rω
имеем
M
rω
=
−
8
π
3
ρνR
3
Ω
ω
e
−
iωt
f
R
δ
.
(12)
Соотношение (12) зависитотхарактера функции
f
(
R/δ
)
, с помощью
которой можно при малых или больших значениях параметра
R/δ
найти соответствующие аналитические выражения для момента сил
сопротивления, учитывающие увлечение частиц среды.
Случай больших значений параметра
R/δ
.
Если вращающаяся
частица велика по сравнению с характерным расстоянием
δ
(
R/δ
1
),
то каждый элемент поверхности частицы можно рассматривать как
плоский. Сила, действующая на единицу площади колеблющейся по
гармоническому закону
V
y
=
V
yω
e
−
iωt
плоской поверхности (
x
= 0
) в
вязкой среде, равна [7]
F
ω
=
ων
2
ρ
(1
−
i
)
V
y
,
где
V
y
= Ω
R
sin
θ
;
θ
— полярный угол. Тогда для компоненты
M
rω
получим
M
rω
=
−
4
√
2
3
πR
4
ρ
√
νω
(1
−
i
) Ω
ω
e
−
iωt
.
(13)
Тотже результатследуетиз соотношения (12), если принять
f
R
δ
= (1
−
i
)
R
δ
.
Если частица вращается с произвольной угловой скоростью
Ω(
t
)
,
то для момента действующей на нее силы сопротивления с учетом
˙Ω
ω
=
−
iω
Ω
ω
из выражения (13) запишем
M
r
(
t
) =
−
8
√
πν
3
R
4
ρ
t
0
d
Ω (
τ
)
dτ
dτ
√
t
−
τ
.
(14)
Из формулы (14) можно вывести соотношение для силы сопроти-
вления
F
S
(
t
)
, действующей на единицу площади безграничной плос-
кой поверхности, которая движется с произвольной скоростью
V
(
t
)
вдоль оси, лежащей в плоскости. Заменяем величину
Ω (
t
)
отношением
V
(
t
)
/
(
R
sin
θ
)
, затем находим интеграл
M
r
(
t
) =
π
0
2
πR
3
F
S
(
t
) sin
3
θ dθ
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 4
7
