отсюда для дисперсии флуктуаций угловой скорости установившегося
процесса вращательного броуновского движения получим
Ω
2
(
t
)
t
→∞
=
σ
8
πρνR
3
I
=
2
k
B
T
I
.
(6)
Из уравнений (3) и (4) можно найти спектральную плотность мощ-
ности флуктуаций угловой скорости вращения частицы
ω
, соответ-
ствующую классическому рассмотрению:
G
0
Ω
(
ω
) =
1
I
2
σ
ω
2
+ (64
π
2
ρ
2
ν
2
R
6
)
/I
2
.
(7)
Из соотношения (7) следует, что при
ω
→
0
спектральная плотность
стремится к постоянной величине
G
0
Ω
(
t
)
ω
→
0
=
k
B
T
4
πρνR
3
.
Учет увлечения среды.
Если сферическая частица совершает в
вязкой среде колебательное вращательное движение вокруг своего
диаметра с частотой
ω
и угловой скоростью
Ω(
t
) = Ω
0
e
−
iωt
, т о в
предположении малых чисел Рейнольдса для момента сил
μ
ω
(
t
)
, дей-
ствующих на такую частицу со стороны частиц среды, справедливо
выражение [7]
μ
ω
(
t
) =
−
8
π
3
ρνR
3
Ω(
t
)
f
R
δ
,
(8)
где
f
R
δ
=
3 + 6(
R/δ
) + 6(
R/δ
)
2
+ 2(
R/δ
)
3
−
2
i
(
R/δ
)
2
(1 +
R/δ
)
1 + 2(
R/δ
) + 2(
R/δ
)
2
.
(9)
Величина
δ
=
2
ν
ω
(10)
представляет собой характерное расстояние проникания возмущений,
создаваемых движущейся сферической частицей в вязкой среде.
Отметим, что из формулы (9) можно вывести классическую зави-
симость (2) для момента сил сопротивления, если формально принять
ω
= 0
(соответствует равномерному вращению).
Запишем общее выражение для момента силы сопротивления
M
r
(
t
)
, действующей на броуновскую частицу, если она совершает
произвольное вращательное движение с некоторой угловой скоростью
Ω(
t
)
. При
t <
0
среду полагаем невозмущенной. Представим величину
Ω(
t
)
интегралом Фурье:
Ω(
t
) =
1
2
π
∞
−∞
Ω
ω
e
−
iωt
dω
; Ω
ω
=
∞
−∞
Ω(
τ
)
e
iωτ
dτ.
(11)
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 4
