Поскольку компоненты тензора напряжений Коши
α
σ
(
ji
)
связаны с
компонентами тензоров деформации
α
ε
ij
и
ν
ε
ij
третьим равенством из
(19), то из (24) следует выражение
α
σ
(
ji
)
=
α
G
ij
+
α
C
ijkl
(
α
ε
kl
−
α
ε
(
T
)
kl
)
−
να
D
ijkl
(
ν
ε
kl
−
ν
ε
(
T
)
kl
)
,
в правой части которого первое слагаемое отлично от нуля только
при наличии остаточных (технологических) напряжений. В большин-
стве практически важных случаев эти напряжения невелики и можно
принять в (24)
α
G
ij
≡
0
и
να
F
ij
≡
0
. Тогда
α
σ
(
ji
)
=
α
C
ijkl
(
α
ε
kl
−
α
ε
(
T
)
kl
)
−
να
D
ijkl
(
ν
ε
kl
−
ν
ε
(
T
)
kl
)
.
(25)
Соотношение (25) по аналогии с классической термоупругостью
можно назвать законом Дюамеля–Неймана для смеси анизотропных
компонентов.
Каждый из тензоров коэффициентов упругости и межкомпонент-
ного взаимодействия содержит 81 компоненту. Однако поскольку
α
σ
(
ji
)
=
α
σ
(
ij
)
,
α
ε
ij
=
α
ε
ji
и
ν
ε
ij
=
ν
ε
ji
, то число независимых компо-
нент этих тензоров сокращается до 36. Если далее учесть равенства
∂
2
A
α
/
(
∂
α
ε
ij
∂
α
ε
kl
)=
∂
2
A
α
/
(
∂
α
ε
kl
∂
α
ε
ij
)
и
∂
2
A
α
/
(
∂
2
α
ε
ij
∂
ν
ε
kl
)=
∂
2
A
α
/
(
∂
ν
ε
kl
∂
α
ε
ij
)
,
то
α
C
ijkl
=
α
C
jikl
=
α
C
ijlk
=
α
C
klij
,
να
D
ijkl
=
να
D
jikl
=
να
D
ijlk
=
να
D
klij
и число
независимых компонент каждого из этих тензоров составит 21.
Антисимметричная часть тензора напряжений с компонентами
α
σ
<ij>
может быть представлена с использованием символов Леви-
Чивиты
e
ijk
и Кронекера
δ
ij
следующим образом:
α
σ
<ij>
=
−
e
ijk
(
e
kmn
x
m
να
P
n
+
να
M
k
) = (
δ
in
δ
jm
−
δ
im
δ
jn
)
x
m
να
P
n
−
e
ijk
να
M
k
.
(26)
Зачастую при построении модели двухкомпонентной упругой сме-
си полагают
να
P
n
= 0
и
να
M
k
= 0
. В этом случае
α
σ
<ij>
= 0
и
α
σ
ij
=
α
σ
(
ij
)
.
Выражение для
h
α
— массовой плотности энтропии
α
-го компонен-
та смеси — получим из первого равенства (19) с учетом представления
(24) объемной плотности свободной энергии:
h
α
=
−
∂A
α
∂T
α
=
1
ρ
α
α
C
ijkl
α
ε
kl
−
να
D
ijkl
ν
ε
kl
∂
α
ε
(
T
)
ij
∂T
α
−
∂B
α
∂T
α
.
(27)
При температуре
T
0
естественного состояния и отсутствии дефор-
мации (
α
ε
ij
=0
,
ν
ε
ij
=0)
массовая плотность энтропии
h
α
(0
,
0
, T
0
, T
0
) = 0
и, следовательно,
∂B
α
/∂T
α
= 0
при
T
α
=
T
ν
=
T
0
.
46
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 3
