смеси будет
V
, а граничная поверхность —
S
. При переходе от началь-
ной конфигурации к актуальной плотность изменяется от
ρ
α
0
до
ρ
α
,
происходит также переход массы от
ν
-го компонента к
α
-му. В таком
случае закон сохранения массы принимает следующий вид:
α
D
Dt
Z
V
0
ρ
α
0
dV
0
=
α
D
Dt
Z
V
ρ
α
dV
−
Z
V
N
X
ν
=1
J
να
dV, α
= 1
, N,
(2)
где
J
να
характеризует интенсивность перехода массы от
ν
-го компо-
нента к
α
-му в единице объема смеси в единицу времени. Отметим,
что
J
να
=
−
J
αν
и
J
αα
= 0
.
Из (2) следует локальная форма записи закона сохранения массы
α
-го компонента смеси (уравнения неразрывности)
α
Dρ
α
Dt
+
ρ
α
∂
α
v
k
∂x
k
−
N
X
ν
=1
J
να
= 0
.
(3)
Очевидно, что уравнение (3) можно записать иначе:
∂ρ
α
∂t
+
∂
∂x
k
ρ
α
α
v
k
−
N
X
ν
=1
J
να
= 0
.
(4)
В соответствии с законом сохранения количества движения для
объема
V
, ограниченного поверхностью
S
, скорость изменения коли-
чества движения
α
-го компонента смеси равна сумме всех действую-
щих на этот компонент поверхностных и массовых сил:
α
D
Dt
Z
V
ρ
α
α
v
k
dV
=
Z
V
α
b
k
+
Z
S
α
p
k
dS
+
Z
V
N
X
ν
=1
να
P
k
dV , α
= 1
, N,
(5)
где
α
b
k
— составляющие вектора плотности объемных сил, действу-
ющих на
α
-й компонент смеси,
α
p
k
— составляющие вектора интен-
сивности поверхностных сил, действующих на
α
-й компонент смеси;
να
P
k
определяют интенсивность обмена количеством движения между
α
-м и
ν
-м компонентами смеси. При этом имеют место следующие
равенства:
να
P
k
=
−
αν
P
k
,
αα
P
k
= 0
.
(6)
Преобразуя уравнение (5) с учетом (3), получаем
ρ
α
α
D
α
v
i
Dt
=
∂
α
σ
ji
∂x
j
+
α
b
i
+
N
X
ν
=1
να
P
i
−
J
να
α
v
i
, i, j
= 1
,
2
,
3
.
(7)
38
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 3
