еще не получила однозначного решения; уравнения Навье–Стокса, в
конечном итоге, сводятся к системе линейных алгебраических уравне-
ний высокого порядка, однако выбор наиболее эффективного метода
ее решения не является очевидным. Кроме того, нелинейность уравне-
ний Навье–Стокса крайне затрудняет их теоретическое исследование
и анализ вычислительных алгоритмов. Поэтому методы численного
решения уравнений Навье–Стокса носят эвристический характер и
приближенные представления об их свойствах могут быть получены
только при решении тестовых задач.
Структура уравнений Навье–Стокса осложняет построение эффек-
тивных вычислительных алгоритмов при любых значениях числа Рей-
нольдса. Построим сетку и осуществим на ней аппроксимацию урав-
нений (1)–(3). Результирующую линеаризованную систему разност-
ных уравнений можно записать в матричной форме
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
0
u
v
p
=
b
1
b
2
0
.
(4)
Очевидно, что полученная система линейных алгебраических уравне-
ний (4) не может быть решена итерационными методами типа Яко-
би или Зейделя из-за наличия нулевого блока на главной диагонали
(
a
33
= 0
), обусловленного отсутствием слагаемого, связанного с да-
влением, в уравнении неразрывности (1).
Первоначально для решения системы (4) применяли сегрегирован-
ные (раздельные) алгоритмы, в которых сначала вычислялись компо-
ненты скорости из решения системы
a
11
a
12
a
21
a
22
u
v
=
b
1
−
a
13
p
b
2
−
a
23
p
,
а затем корректировалось давление из условия, что компоненты скоро-
сти будут удовлетворять разностному аналогу уравнения неразрывно-
сти
a
31
u
+
a
32
v
= 0
. В настоящее время наибольшее распространение
получил метод SIMPLE, в котором для поправок к давлению (
δ
p
) пред-
ложено уравнение
∂
2
δ
p
∂x
2
+
∂
2
δ
p
∂y
2
=
∂u
∂x
+
∂v
∂y
.
Сходимость метода SIMPLE достигается посредством применения по-
следовательной нижней релаксации, т.е. давление пересчитывается по
соотношению
p
:=
p
+
α
p
δ
p
(равенство в смысле присвоения), где
α
p
есть параметр нижней релаксации [1].
К неустранимым недостаткам метода SIMPLE и его модификаций
следует отнести дополнительные граничные условия для давления,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
79
