— уравнение постоянства массового расхода
1
Z
0
u
(
x, y
)
dy
=
1
Z
0
u
(0
, y
)
dy .
(7)
Уравнения (5)–(7) получены из (1)–(3) в предположении, что измене-
ние давления поперек потока равно нулю (
p
0
y
= 0
) и
|
u
00
yy
|
|
u
00
xx
|
.
Принятые допущения позволяют решать уравнения (5)–(7) маршевым
методом по направлению
X
(по потоку). Положим, что в
(
i
−
1)
-м
сечении, перпендикулярном направлению течения, известно распреде-
ление скорости. Тогда линеаризованный разностный аналог уравнения
движения (6) в
i
-м сечении может быть записан в виде
A
j
u
ij
−
1
+
B
j
u
ij
+
C
j
u
ij
+1
=
D
j
+
p
i
−
p
i
−
1
h
x
,
(8)
где
h
x
есть шаг сетки по направлению
x
. Численное решение урав-
нений (5)–(7) проводится в следующем порядке: 1) решение разност-
ного уравнения (8) методом прогонки по мере сходимости итераций
Ньютона по нелинейности в конвективном члене; 2) получение ком-
поненты скорости
v
из разностного аналога уравнения неразрывности
(5); 3) проверка условия постоянства массового расхода (7), коррекция
давления
p
i
и возврат к п. 1, если необходимо; 4) переход к
(
i
+ 1)
-му
сечению.
Коррекция давления основана на численном решении уравнения
F
(
p
i
) =
1
Z
0
u
(
x
i
, y, p
i
)
dy
−
1
Z
0
u
(0
, y
)
dy ,
которое осуществляется методом секущих [5, 6].
К очевидным достоинствам приведенного выше алгоритма сле-
дует отнести:
высокую вычислительную эффективность определения
давления
(давление вблизи
i
-го сечения изменяется почти линейно, а
метод секущих является точным для линейных задач, поэтому тре-
буется всего несколько итераций метода секущих для подбора значе-
ния давления
p
i
таким образом, что погрешность разностного аналога
уравнения постоянства массового расхода (7) станет сопоставимой
с погрешностями округления);
согласованное вычисление компонент
скорости и давления
.
Предлагаемый алгоритм решения полных уравнений Навье–Стокса
основан на неформальном разделении расчета компонент скорости и
давления с привлечением методов, используемых ранее для решения
уравнений Навье–Стокса в приближении пограничного слоя (5)–(7).
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
81
