Вспомогательная задача.
Формулировку вспомогательной задачи
проиллюстрируем на примере стационарного течения несжимаемой
среды в каверне
H
×
H
с крышкой, движущейся со скоростью
U
w
.
Положим, что плотность
ρ
и вязкость
μ
среды постоянные. В данном
случае число Рейнольдса в уравнениях Навье–Стокса (1)–(3) опреде-
ляется так:
Re =
ρU
w
H
μ
.
На стенках и крышке каверны граничные условия для компонент ско-
рости заданы в виде
u
(
x,
0) =
u
(0
, y
) =
u
(1
, y
) = 0;
u
(
x,
1) = 1;
v
(
x,
0) =
v
(0
, y
) =
v
(1
, y
) =
v
(
x,
1) = 0
.
Теперь сформулируем вспомогательную задачу для расчета тече-
ния в каверне, которая по вычислительным затратам была бы сравни-
ма с решением уравнений Навье–Стокса в приближении пограничного
слоя, но решение которой близко к решению исходной задачи (1)–(3).
Для этого проинтегрируем уравнение неразрывности (1) по контроль-
ным объемам
V
1
и
V
2
, показанным на рис. 1, и получим два уравнения
постоянства массового расхода
1
Z
0
u
(
x, y
)
dy
= 0;
(9)
1
Z
0
v
(
x, y
)
dx
= 0
.
(10)
Далее представим давление в виде
p
(
x, y
) =
p
x
(
x
) +
p
y
(
y
) +
p
xy
(
x, y
)
,
(11)
где верхние индексы
x
,
y
и
xy
показывают зависимость того или иного
слагаемого от соответствующих координат. Во вспомогательной зада-
Рис. 1. Схема каверны с движущейся крышкой и контрольные объемы
V
1
,
V
2
82
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
