Согласно работе [2], множество
G
является РМ
D
(
p
,
K
, λ
1
, . . . , λ
n
)
,
K
=
R
|
I
|
, сбалансированным на
n
уровней, тогда и только тогда,
когда его СРКВ имеет
n
различных гармоник. При поиске квазиод-
ноуровневых РМ необходимо оценить разницу между наибольшей
и наименьшей гармониками. Гармоники СРКВ
S
(
0
,
k
)
совпадают с
циклотомическими числами
(
k
,
j
)
,
j
=
0
,
d
−
1
порядка
d
[5]. Для
циклотомических чисел третьего, четвертого, шестого и восьмого
порядков существуют формулы, позволяющие выразить их через зна-
чения переменных, которые входят в разложение
p
на сумму квадратов
целых чисел [6]. Таким образом, таблица СРКВ будет определяться
двумя–четырьмя переменными, что существенно упрощает ее анализ.
Исходя из сказанного выше, получаем методику определения пара-
метров квазиодноуровневых РМ: 1) определение циклически незави-
симых вариантов наборов индексов для выбранного значения
d
; 2) вы-
числение гармоник СРКВ, соответствующих множеству
G
, с исполь-
зованием формул для циклотомических чисел; 3) определение уровней
РМ, вычисление разницы между наибольшим и наименьшим уровня-
ми, сравнение с заданными пороговыми значениями
1
S
max
,
γ
max
.
Проиллюстрируем применение данной методики для
p
=
d R
+ 1
,
d
=
3
,
4
,
6
,
8
.
2. Расчет параметров квазиодноуровневых РМ для
d
=
3
.
Вы-
полним последовательно указанные три шага методики расчета пара-
метров квазиодноуровневых РМ для
d
=
3
.
1. При
d
=
3
достаточно рассмотреть единственный вариант, когда
I
= {
0
}
.
2. Если
I
= {
0
}
, то для анализа РМ необходимо вычислить СРКВ
S
(
0
,
0
)
. Используя явные формулы для циклотомических чисел тре-
тьего порядка [6], получаем
18
S
(
0
,
0
)
=
(
2
p
−
16 + 2
L
,
2
p
−
4
−
L
−
9
M
,
2
p
−
4
−
L
+ 9
M
),
где
4
p
=
L
2
+ 27
M
2
,
L
=
1 + 3
f
,
L
,
M
,
f
— целые числа.
3. В общем случае (при
d
=
3
) РМ
D
(
p
,
K
, λ
1
, λ
2
, λ
3
)
сбалансиро-
вано на три уровня:
λ
1
=
2
p
−
16 + 2
L
18
, λ
2
,
3
=
2
p
−
4
−
L
±
9
M
18
(1)
Так как
M
6
=
0
, то
λ
2
6
=
λ
3
, т.е. РМ не может быть сбалансировано
на один уровень и
1
S
≥ |
M
|
.
Лемма 2.1.
Наибольшая разность между уровнями РМ
1
S
= |
M
|
в том и только в том случае, если
|
L
−
4
| ≤
3
|
M
|
.
Доказательство
. Согласно (1),
|
λ
3
−
λ
2
| = |
M
|
, тогда наиболь-
шая разность между уровнями РМ
1
S
будет равна
|
M
|
в том и
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 4
