Следствие 3.2.2.
Если
p
=
x
2
+ 16
u
2
, то множество степенных
вычетов
H
k
∪
H
k
+1
является РМ, сбалансированным на четыре уровня,
D p
,
p
−
1
2
,
p
−
5
4
±
u
,
p
−
1
4
±
u
.
Следствие 3.2.3
. Если
p
=
x
2
+ 16
, то уровни РМ отличаются на
единицу:
λ
1
=
p
−
9
4
, λ
2
=
p
−
5
4
, λ
3
=
p
−
1
4
, λ
4
=
p
+ 3
4
, т.е.
1
S
=
3
.
Теорема 3.2 позволяет построить большое число квазиодноуровне-
вых РМ с заданным
1
S
max
. Например, если
1
S
max
=
3
, то множество
степенных вычетов
H
k
∪
H
k
+1
будет РМ с
1
S
≤
1
S
max
для следующих
значений
p
: 5
,
13
,
17
,
29
,
37
,
41
,
53
,
61
,
97
,
137
,
157
,
173
,
229
,
241
,
293
,
397
,
457
,
641
,
661
,
733
,
857
,
877
,
977
,
997
, выбранных
среди простых чисел, меньших 1000.
Доказанные теоремы определяют достаточные условия существо-
вания квазиодноуровневых РМ для
p
=
4
R
+ 1
и расширяют возмож-
ности известных способов построения квазиодноуровневых РМ [2–4].
4. Расчет параметров квазиодноуровневых РМ для
d
=
6
.
1. Если
d
=
6
, то порядок
|
I
| =
1
,
2
,
3
. Определим циклически не-
зависимые множества индексов:
I
= {{
0
}
,
{
0
,
1
}
,
{
0
,
2
}
,
{
0
,
3
}
,
{
0
,
1
,
2
}
,
{
0
,
1
,
3
}
,
{
0
,
1
,
4
}
,
{
0
,
2
,
4
}}
. Первые четыре варианта для
I
были иссле-
дованы в работах [5, 8]. Вариант {0,1,3} был исследован Холлом [6], а
вариант {0,1,4} сводится к {0,1,3} заменой
θ
на
θ
−
1
. При
I
= {
0
,
2
,
4
}
получаем множеством квадратичных вычетов [1]. Таким образом, для
d
=
6
представляет новизну лишь один вариант —
I
= {
0
,
1
,
2
}
. Обо-
значим через
J
=
(
0
,
1
,
2
), (
1
,
2
,
3
), (
2
,
3
,
4
), (
3
,
4
,
5
), (
0
,
4
,
5
), (
0
,
1
,
5
)
}
множество троек индексов, порожденное {0,1,2} путем циклического
сдвига по номерам классов.
2. Если
G
=
H
0
∪
H
1
∪
H
2
, то, согласно работе [2], его СРКВ
определяется выражением
S
(
0
,
0
)
+
DS
(
0
,
0
)
+
D
2
S
(
0
,
0
)
+
S
(
0
,
1
)
+
D
3
S
(
0
,
1
)
+
+
S
(
0
,
2
)
+
D
3
S
(
0
,
2
)
+
D
(
S
(
0
,
1
)
+
D
3
S
(
0
,
1
)).
Воспользовавшись формулами для циклотомических чисел шесто-
го порядка [6, 7], рассчитаем гармоники СРКВ. Результаты расчета для
нечетного
R
приведены в табл. 2, а для четного
R
в табл. 3, в которых
p
=
A
2
+3
B
2
,
A
≡
1
(
mod 3
)
,
A
,
B
— целые числа. Знак
B
выбирается в
зависимости от первообразного корня
θ
, а именно, если
m
— наимень-
ший положительный вычет
ind
θ
2
по модулю 3, то
B
≡ −
m
(
mod3
)
.
3. Уровни РМ определяются по табл. 2 и 3. Вычислим
1
S
.
14
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 4
