а для четного
R
λ
1
,
2
=
p
−
5
±
2
y
4
, λ
3
,
4
=
p
−
1
±
2
y
4
.
(5)
Теорема 3.1.
Если
d
=
4
,
I
= {
0
}
, то:
1)
1
S
= |
x
−
1
|
4
для нечетного
R
;
2)
1
S
=
|
y
|
при
|
x
| ≤ |
y
| −
1
,
|
x
|
+
|
y
| −
1
2
при
|
x
|
>
|
y
| −
1
для четного
R
.
Доказательство.
Если
R
нечетно, то РМ имеет два уровня для
x
6
=
1
и
1
S
= |
x
−
1
|
4
согласно (2). Утверждение теоремы для чет-
ного
R
следует из (3) и равносильности неравенств
λ
2
≤
λ
1
≤
λ
4
(λ
4
≤
λ
1
≤
λ
2
)
и
|
x
| ≤ |
y
| −
1
.
Так как
1
S
при нечетном
R
зависит только от
x
, то, задавая раз-
личное пороговое значение
1
S
max
≥
0
и фиксируя значение
x
, можно
найти семейства квазиодноуровневых РМ со сколь угодно большим
числом элементов.
Следствие 3.1.1.
Если
x
=
1
,
R
— нечетное,
I
= {
0
}
, то
λ
1
=
λ
2
и
множество биквадратичных вычетов будет РМ, сбалансированным на
один уровень
(1
S
=
0
)
.
Это известный результат [1].
Следствие 3.1.2.
При
x
= −
3
или
x
=
5
и нечетном
R
по те-
ореме 3.1 получаем известный результат для
d
=
4
из работы [3]
(
1
S
=
1
)
.
Теорема 3.1 обобщает утверждения 6.3.2–6.3.6 из работы [2], в
которых существуют ограничения на переменные
x
,
y
и
|
x
−
y
|
.
Теорема 3.2.
Если
d
=
4
и
R
— нечетное, то множество степенных
вычетов
H
k
∪
H
k
+1
является РМ, сбалансированным на два уровня c
1
S
= |
y
|
, а при четном
R
— на четыре уровня с
1
S
= |
y
|
+ 1
.
Доказательство
. Если
R
нечетно, то теорема следует из (4), так
как
y
6
=
0
, а если
R
четно, то из равенства
p
−
5 + 2
y
=
p
−
1
−
2
y
(
p
−
5
−
2
y
=
p
−
1 + 2
y
)
получаем
y
= ±
1
, что невозможно для
четного
R
, т.е. в этом случае все уровни различны. Согласно (5) имеем
1
S
= |
y
|
+ 1
.
Следствие 3.2.1
. Если
p
=
x
2
+4
(
2
u
+1
)
2
, то множество степенных
вычетов
H
k
∪
H
k
+1
является РМ, сбалансированным на два уровня,
D p
,
p
−
1
2
,
p
−
5
−
4
u
4
,
p
−
1 + 4
u
4
.
Следствие 3.2.1 обобщает частный случай (
u
=
0
)
, рассмотренный
в работе [4].
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 4
13
