ческих процессов в материале при математическом моделировании та-
ких процессов и проектировании установок для получения указанных
материалов. В настоящей работе рассматривается математическая мо-
дель процесса теплопроводности, учитывающая неравновесность про-
текающего процесса и конечную скорость фазового перехода. Работа
посвящена сравнению известной модели теплопроводности и модели
с учетом параметров состояния среды, а также оценке влияния этих
параметров на процесс теплопроводности.
Уравнение теплопроводности, учитывающее фазовый переход
в среде.
При построении математических моделей процесса затвер-
девания воспользуемся классической моделью Стефана, для которой
характерно задание постоянной температуры на границе фазового пе-
рехода. Будем считать, что затвердевание расплава происходит при
заданной постоянной температуре фазового перехода
T
. При этом
происходит выделение скрытой теплоты фазового перехода
Q
. Также
положим, что конвективный перенос в среде отсутствует.
Пусть фазовый переход происходит на границе раздела фаз
S
=
=
S
(
t
)
, где
t
— время. Эта граница разделяет всю расчетную область
Ω
на две подобласти. В дальнейшем индексом “
+
” будем обозначать
величины, соответствующие жидкой фазе, а индексом “
−
” — твердой
фазе.
В связи с тем, что фазовый переход сопровождается выделе-
нием/поглощением теплоты и на границе фазового перехода происхо-
дит скачкообразное изменение теплофизических свойств материала,
на этой границе имеет место разрыв термодинамических параметров
процесса. Поэтому на границе фазового перехода должны выполнять-
ся условия сопряжения, называемые условиями Стефана [4–8]. Это
условие неразрывности температуры
[
T
(
P, t
)] = 0
, P
2
S
и условие для нормальной составляющей вектора плотности теплового
потока
−
λ
∂T
∂
n
(
P, t
) =
ρQ D, P
2
S.
(1)
Здесь
[
∙
] = (
∙
)
+
−
(
∙
)
−
означает скачок функции при переходе через
поверхность разрыва со стороны твердой фазы на сторону жидкой
фазы;
n
— единичный вектор нормали к поверхности
S
, направленный
в сторону ее движения;
λ
(
T
)
— теплопроводность материала;
ρ
(
T
)
—
плотность материала;
D
— модуль нормальной скорости движения
границы фазового перехода.
Рассмотрим, в общем случае, многомерную задачу. При формули-
ровке уравнения теплопроводности с учетом фазового перехода целе-
сообразно воспользоваться методами сквозного счета, т.е. без явного
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 3
43
