Положим
c
=
−
T
(
d
2
B/dT
2
+
∂
2
B
1
/∂T
2
) =
−
T∂
2
B
1
/
(
∂T∂
Φ)
. Тогда,
используя закон теплопроводности Фурье
q =
−
λ
r
T
, а также пред-
ставление термодинамической температуры (7), получим уравнение
теплопроводности в следующем виде:
ρc
∂T
∂t
+
ρc
τ
T
t
Z
0
exp
−
t
−
τ
τ
T
∂T
∂τ
dτ
=
r
(
λ
r
T
) +
δ
S
q
S
.
(10)
Вместо условия Стефана (1) с учетом параметра
χ
имеем
−
λ
∂T
(
P, t
)
∂
n
=
ρQ Dχ, P
2
S.
(11)
Разность нормальных составляющих
q
−
и
q
+
векторов плотности те-
плового потока (соответственно отводимого от поверхности фазового
перехода
S
и подводимого к этой поверхности) равна мощности по-
верхностного источника теплоты
q
S
:
q
−
−
q
+
=
q
S
.
Поскольку направления векторов плотности теплового потока
q
−
и
q
+
противоположны направлению нормали
n
к
S
, то с учетом соотноше-
ния (11) из последнего равенства получаем
q
S
=
ρQ Dχ.
(12)
Покажем [6], что
δ
S
D
=
δ
(
T
−
T
)
∂T
∂t
.
(13)
Вблизи границы фронта кристаллизации введем локальную ортого-
нальную систему координат
(
x
0
, y
0
, z
0
)
, метрические коэффициенты
которой равны единице. В этих новых координатах поверхностная
δ
-функция
δ
S
есть
δ
S
=
δ
(
x
0
−
x
0
0
)
, где уравнение
x
0
=
x
0
0
определяет
границу
S
. Аналогично для скорости движения свободной границы
имеем
D
=
dx
0
/dt
. Условие
T
(
M, t
) =
T
,
M
2
S
(
t
)
соответствует
тому, что в новых координатах
T
=
T
(
x
0
, y
0
, z
0
, t
)
,
T
(
x
0
0
, y
0
, z
0
, t
) =
T
.
С учетом этого получаем выражение (13).
Тогда уравнение теплопроводности (10) с учетом (6), (12) и (13)
примет вид
ρ
˜
c
S
∂T
∂t
+
ρc
τ
T
t
Z
0
exp
−
t
−
τ
τ
T
∂T
∂τ
dτ
=
r
(
λ
r
T
)
,
(14)
где
˜
c
S
(
T
)
— эффективная теплоемкость,
˜
c
S
(
T, t
) =
c
(
T
)
−
−
Q
1
−
1
−
exp
−
t
−
t
τ
S
η
(
T
−
T
)
δ
(
T
−
T
)
.
(15)
46
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 3
