Решение уравнения (5) различно для случаев монотонно возрастаю-
щей и убывающей температуры. Поскольку в данной работе интерес
представляет процесс охлаждения, то ограничимся лишь случаем мо-
нотонно убывающей температуры; при этом решение уравнения (5)
имеет вид
χ
= 1
−
1
−
exp
−
t
−
t
τ
S
η
(
T
−
T
)
,
(6)
где
t
— время начала фазового перехода, соответствующее достиже-
нию температурой значения
T
.
Поскольку термодинамическая температура совпадает с абсолют-
ной, если скорость ее изменения стремится к нулю, то в условиях
термодинамического равновесия
ˉΦ =
T
. Тогда
Φ =
T
−
t
Z
0
exp
−
t
−
τ
τ
T
∂T
∂τ
dτ.
(7)
Представим объемную плотность свободной энергии в виде
ρA
(
T,
Φ) =
ρ
(
B
(
T
) +
B
1
(
T,
Φ))
.
При температуре
T
e
=
const естественного состояния термодинами-
ческой системы
B
(
T
e
) = 0
,
B
1
(
T
e
, T
e
) = 0
. Тогда массовая плотность
энтропии выражается соотношением
h
=
−
∂A
∂T
=
−
dB
dT
−
∂B
1
∂T
.
(8)
Поскольку затвердевание жидкости сопровождается выделением
определенного количества теплоты, то можно считать, что на
S
име-
ется поверхностный тепловой источник с некоторой мощностью
q
S
.
Тогда для всей расчетной области
Ω
можем записать закон сохранения
энергии в виде [6]
ρT
∂h
∂t
=
−r ∙
q +
δ
S
q
S
.
(9)
Здесь слагаемое
δ
S
q
S
представляет собой объемную мощность по-
верхностного источника теплоты, а
δ
S
— поверхностная
δ
-функция,
определяемая так, что для любой функции
f
(
M
)
справедливо соотно-
шение
Z
Ω
δ
S
f
(
M
)
d
Ω =
Z
S
f
(
M
)
dS.
Из (9) с учетом (8) получим
−
ρT
d
2
B
dT
2
+
∂
2
B
1
∂T
2
∂T
∂t
−
ρT
∂
2
B
1
∂T∂
Φ
∂
Φ
∂t
=
−r ∙
q +
δ
S
q
S
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 3
45
