выделения границы фазового перехода. Поэтому математическую мо-
дель процесса будем строить в обобщенной формулировке.
В простейшем случае обобщенное уравнение теплопроводности
имеет вид [4, 6–8]
ρ
˜
c
∂T
∂t
=
r
(
λ
r
T
)
,
(2)
где
˜
c
(
T
)
— эффективная теплоемкость,
˜
c
(
T
) =
c
(
T
)
−
Q δ
(
T
−
T
) ;
(3)
c
(
T
)
— удельная массовая теплоемкость материала;
δ
(
T
−
T
)
— дельта-
функция.
Уравнение теплопроводности (2) приемлемо для описания медлен-
но протекающих процессов. В случае высокоинтенсивного процесса
оно нуждается в уточнении.
Поскольку состояние рассматриваемой термодинамической систе-
мы быстро изменяется во времени, то рассматриваемый термодина-
мический процесс является неравновесным. Поэтому для учета не-
равновесности процесса введем в рассмотрение термодинамическую
температуру
Φ (
M, t
)
,
M
2
Ω
, которая совпадает с абсолютной, если
скорость изменения
Φ
стремится к нулю. Термодинамическая темпера-
тура служит мерой средней кинетической энергии движения молекул
в неравновесном процессе.
В реальном процессе затвердевания расплава кристаллизация ма-
териала не происходит мгновенно. Введем в рассмотрение параметр
порядка
χ
, учитывающий конечную скорость фазового перехода. По-
лагаем, что
χ
= 1
в жидкой фазе и
χ
= 0
в твердой.
Изменение введенных параметров состояния описывается соответ-
ствующими кинетическими уравнениями. В линейном приближении
примем следующий вид кинетических уравнений:
для термодинамической температуры [9]
τ
T
˙Φ = ˉΦ
−
Φ
,
(4)
для параметра порядка [10]
τ
S
˙
χ
+
χ
=
η
(
T
−
T
)
,
(5)
где
τ
T
— время релаксации параметра
Φ
, обратно пропорциональное
частоте собственных колебаний молекул в неравновесном процессе;
ˉΦ
— равновесное значение этого параметра;
τ
S
— время релаксации
параметра
χ
;
η
(
T
−
T
)
— функция Хевисайда. Решение уравнения
(4) имеет вид
Φ = ˉΦ
−
t
Z
0
exp
−
t
−
τ
τ
T
∂
ˉΦ
∂τ
dτ.
44
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 3
