Если перемещения ротора малы, то можно, основываясь на методах
теории возмущений [2], аппроксимировать решение задачи о распре-
делении потенциала асимптотическим рядом по степеням параметров
перемещения:
ϕ
(
r, θ, ϕ
) =
ϕ
(0)
(
r, θ, ϕ
) +
ϕ
(1)
d
(
r, θ, ϕ
)
d
+
ϕ
(2)
d
(
r, θ, ϕ
)
d
2
,
(8)
где
ϕ
(0)
— потенциал нулевого порядка, соответствующий несмещен-
ному положению ротора;
ϕ
(1)
d
— возмущенный потенциал первого по-
рядка;
ϕ
(2)
d
— возмущенный потенциал второго порядка.
В разложении (8) сохраним члены не выше второго порядка из-за
малости перемещений. Подставляя выражение (8) в уравнения (4) и
(5), получим
r
2
ϕ
(
k
)
= 0;
k
= 0
,
1
,
2;
ϕ
(0)
(
S
1
) = 1
, ϕ
(0)
(
S/S
1
) = 0;
ϕ
(
n
)
(
S
) = 0;
n
= 1
,
2
.
(9)
Чтобы найти недостающие граничные условия для всех возму-
щенных потенциалов на поверхности
S
0
, примем малые перемещения
ротора как возмущения его несмещенной (базовой) поверхности при
r
=
a
. Разложим потенциал на границе поверхности
S
0
в ряд Тейлора
по степеням отклонения этой поверхности от базовой:
ϕ
(
S
)
0
=
ϕ
(
a, θ, ϕ
) +
∂ϕ
(
a, θ, ϕ
)
∂r
[
r
(
S
0
, θ, ϕ
)
−
a
] +
+
1
2
∂
2
ϕ
(
a, θ, ϕ
)
∂r
2
[
r
(
S
0
, θ, ϕ
)
−
a
]
2
+
. . .
(10)
Подставляя выражение (10) в соотношения (7) и (8) и учитывая
инвариантность потенциала на поверхности ротора при любых сме-
щениях, т.е.
ϕ
(
S
0
) = 0
, находим граничные условия на поверхности
r
=
a
для возмущенных потенциалов каждого порядка путем прирав-
нивания членов при одинаковых степенях перемещения:
ϕ
(0)
(
a, θ, ϕ
) = 0;
ϕ
(1)
(
a, θ, ϕ
) =
−
∂ϕ
(0)
(
a, θ, ϕ
)
∂r
cos
γ
;
ϕ
(2)
d
(
a, θ, ϕ
) =
1
2
a
∂ϕ
(0)
(
a, θ, ϕ
)
∂r
sin
2
γ
−
−
∂ϕ
(1)
(
a, θ, ϕ
)
∂r
cos
γ
−
1
2
∂
2
ϕ
(0)
(
a, θ, ϕ
)
∂r
2
cos
2
γ.
(11)
Уравнения (11) и (9) полностью определяют граничные условия
для потенциалов
ϕ
(0)
, ϕ
(
1
)
, ϕ
(
2
)
на поверхностях
S
0
,
S
, и
S
1
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
105
