Общее решение уравнения Лапласа получим методом разделения
переменных:
ϕ
(
r, θ, ϕ
) =
∞
X
n
=0
∞
X
m
=0
˜
A
mn
r
n
+ ˜
B
mn
/r
n
+1
cos
mϕ
+
+ ˜
C
mn
r
n
+ ˜
D
mn
/r
n
+1
sin
mϕ P
m
n
(cos
θ
)
,
где
˜
A
mn
,
˜
B
mn
,
˜
C
mn
,
˜
D
mn
— константы, определяемые из граничных
условий;
P
m
n
(cos
θ
)
— присоединенные полиномы Лежандра.
Решение для потенциала нулевого порядка в конструкции с тре-
угольными электродами запишем в форме
ϕ
(0)
(
r, θ, ϕ
) =
=
∞
X
n
=0
∞
X
m
=0
2
n
+ 1
2
R
(0)
n
(
r
)
A
(0)
mn
cos
mϕ
+
C
(
o
)
mn
sin
mϕ P
m
n
(cos
θ
) ;
R
(0)
n
(
r
) =
(
r
2
n
+1
−
a
2
n
+1
)
b
n
+1
r
n
+1
(
b
2
n
+1
−
a
2
n
+1
)
;
A
(0)
mn
=
L
mn
πε
(
n
−
m
)!
(
n
+
m
)!
;
C
(0)
mn
=
K
mn
πε
(
n
−
m
)!
(
n
+
m
)!
;
L
mn
=
π/
2
Z
0
π/
2
−
ϕ
0
Z
−
ϕ
0
P
m
n
(cos
θ
) sin
θ
cos
mϕdϕdθ
;
K
mn
=
π/
2
Z
0
π/
2
−
ϕ
0
Z
−
ϕ
0
P
m
n
(cos
θ
) sin
θ
sin
mϕdϕdθ
;
ε
=
2
, m
= 0
,
1
, m
6
=
0.
(12)
где
A
(0)
mn
, C
(0)
mn
— коэффициенты разложения, полученные из гранич-
ных условий с использованием свойств ортогональности сферических
гармоник, а для потенциала нулевого порядка в конструкции с элек-
тродами — в виде сферических сегментов
ϕ
(0)
(
r, θ, ϕ
) =
∞
X
n
=0
2
n
+ 1
2
R
(0)
n
(
r
)
A
(0)
n
P
n
(cos
θ
)
,
A
(0)
n
=
θ
Z
0
P
n
(cos
θ
) sin
θdθ.
(13)
106
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
