Итак, рассмотрим волновые пакеты
{
Υ (
ω
)
}
“эмпирических” функ-
ций
Υ (
ω
)
, являющихся амплитудами вероятности физической систе-
мы, находящейся в состоянии, которое характеризуется параметрами
ω
. Переходы между состояниями будем задавать при помощи инфи-
нитезимальных подстановок локальной лупы Ли
Υ
→
Υ +
δ
Υ = Υ +
+
δT
(Υ)
, где
δT
является инфинитезимальным оператором перехода.
Введение макроскопического наблюдателя заставляет нас искать пред-
ставление операторов перехода дифференциальными операторами. В
результате становится желательным использование дифференцируе-
мого многообразия
M
r
, в рассматриваемой области которого
Ω
r
бу-
дем искать гладкие “теоретические” поля
Υ (
ω
)
(
ω
2
Ω
r
M
r
)
как
решения дифференциальных уравнений, что в общем случае являет-
ся нереальной задачей (как известно, даже в классической динамике
наиболее интересные проблемы не сводятся к интегрируемым систе-
мам [9]). Именно поэтому, будет представлять интерес более простая
задача поиска сужений
Υ (
x
)
“теоретических” полей на многообразии
M
n
(
x
2
M
n
M
r
,
n
≤
r
)
.
Для этого через некоторую точку
ω
2
M
r
проведем гладкие кривые,
с помощью которых определим соответствующее множество вектор-
ных полей
{
δξ
(
ω
)
}
, а с их помощью определим отклонение полей
Υ (
ω
)
в точке
ω
2
M
r
в виде
δ
0
Υ =
δX
(Υ) =
δT
(Υ)
−
δξ
(Υ)
. Если
δ
0
Υ = 0
, то мы получаем аналог кинетического уравнения Больцмана,
где член
δT
(Υ)
играет роль интеграла столкновения. Так как мы не
надеемся в общем случае получить интегрируемую систему, то будем
требовать, чтобы эти отклонения
δ
0
Υ
хотя бы в “среднем” были ми-
нимальны [10]. Для этого мы определим квадрат полунормы
|
X
(Υ)
|
в
векторном пространстве с полускалярным произведением как следу-
ющий интеграл:
A
=
Z
Ω
n
Λ
d
n
V
=
Z
Ω
n
κX
(Υ)
ρX
(Υ)
d
n
V .
(1)
Здесь
A
— действие;
Λ (Υ)
— лагранжиан;
κ
— постоянная,
ρ
— матри-
ца плотности; черта сверху означает дираковское сопряжение, явля-
ющееся суперпозицией эрмитового сопряжения и пространственной
инверсии.
Конечно, для этой же цели можно использовать аналог метода наи-
большего правдоподобия, применяемый в математической статистике.
Как известно, согласно гипотезе Фейнмана амплитуда вероятности
перехода системы из состояния
Υ (
x
)
в состояние
Υ
0
(
x
0
)
равна следу-
ющему интегралу:
56
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
