Далее будет рассматриваться область
δ
Ω
r
M
r
как область ло-
кальной лупы Ли
G
r
(в частности, которая может иметь и структу-
ру локальной группы Ли, если мы потребуем для нее свойство ас-
социативности), индуцированной множеством
{
T
}
, при этом будем
рассматривать выражение в виде (2) как инфинитезимальный закон
подстановок локальной лупы Ли полей
Υ (
x
)
. Отметим, что структу-
ра локальной лупы Ли будет характеризовать степень когерентности
рассматриваемых квантовых систем. При этом максимальная степень
достигается для простой группы Ли, а минимальная степень — для
абелевой. В последнем случае мы будем иметь некогерентную смесь.
Примем во внимание зависимость систем отсчета от физических
свойств инструментов (включая эталоны) и, более того, что часть пе-
реходов являются не наблюдаемыми. Пусть
L
a
(Υ) =
T
a
(Υ) +
ξ
i
a
Γ
i
Υ
.
Вследствие этого формула (3) перепишется так:
δ
0
Υ =
δω
a
X
a
(Υ) =
δω
a
L
a
(Υ)
−
ξ
i
a
r
i
Υ
,
где
r
i
— ковариантные производные в отношении связности
Γ
i
(
x
)
.
Заметим, если
L
a
(Υ) =
L
a
Υ
, то должны иметь место следующие
соотношения:
ξ
i
a
r
i
ξ
k
b
−
ξ
i
b
r
i
ξ
k
a
−
2
S
k
ij
ξ
i
a
ξ
j
b
=
−
C
c
ab
ξ
k
c
,
L
a
L
b
−
L
b
L
a
−
ξ
i
a
r
i
L
b
+
ξ
i
b
r
i
L
a
+
R
ij
ξ
i
a
ξ
j
b
=
C
c
ab
L
c
,
(4)
где
S
k
ij
(
x
)
— компоненты кручения многообразия
M
n
, а
R
ij
(
x
)
— ком-
поненты кривизны связности
Γ
i
(
x
)
, определяемые как
S
k
ij
= Γ
k
ij
−
Γ
k
ji
/
2
, R
ij
=
∂
i
Γ
j
−
∂
j
Γ
i
+ Γ
i
Γ
j
−
Γ
j
Γ
i
.
(5)
Здесь и далее
Γ
k
ij
(
x
)
— компоненты внутренней связности многообра-
зия
M
n
. При этом компоненты
C
c
ab
(
x
)
структурного тензора локальной
лупы Ли
G
r
должны удовлетворять тождествам
C
c
ab
+
C
c
ba
= 0
, C
d
[
ab
C
e
c
]
d
−
ξ
i
[
a
r
|
i
|
C
e
bc
]
+
R
e
ij
[
a
ξ
i
b
ξ
j
c
]
= 0
,
где
R
e
ija
(
x
)
— компоненты кривизны связности
Γ
b
i
a
(
x
)
, определя-
ются аналогично соотношениям (5) в виде
R
a
ijb
=
∂
i
Γ
a
j
b
−
∂
j
Γ
a
i
b
+
+ Γ
a
i
c
Γ
c
j
b
−
Γ
a
j
c
Γ
c
i
b
.
Мы рассматриваем дифференцируемое многообразие
M
n
, не ин-
терпретируя его физически. Конечно, предполагается рассматривать
многообразие
M
n
как пространство-время
M
4
. В то же время нельзя не
учитывать возможность фазовых переходов системы, в результате ко-
торых можно ожидать появления когерентных состояний. Вследствие
этого удобно не фиксировать размерность многообразия
M
n
. Кроме
58
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
