K
(Υ
,
Υ
0
) =
Z
Ω(Υ
,
Υ
0
)
exp (
iA
)
D
Υ =
= lim
N
→∞
I
N
Z
d
Υ
1
. . .
Z
d
Υ
k
. . .
Z
d
Υ
N
−
1
exp
i
N
−
1
X
k
=1
Λ (Υ (
x
k
)) Δ
V
k
!
.
Здесь используется следующая система единиц:
h/
(2
π
) =
c
= 1
, где
h
— постоянная Планка,
c
— скорость света;
i
2
=
−
1
; постоянная
I
N
выбирается так, чтобы предел существовал. Вследствие этого функ-
ции
Υ (
x
)
, получаемые из требования минимальности действия
A
и
используемые для описания квантовых систем, также являются лишь
наиболее правдоподобными. В этом подходе лагранжиан играет более
фундаментальную роль при описании физических систем, чем диффе-
ренциальные уравнения, которые из него получаются.
Локальные лупы Ли.
Далее мы будем рассматривать простран-
ство
M
r
как многообразие, параметры
ω
a
(
a,b,c,d,e =
1
,
2
, . . . , r
)
как
координаты произвольной точки
ω
2
M
r
, а поля
Υ (
ω
)
мы будем зада-
вать в некоторой области
Ω
r
данного многообразия (
ω
2
Ω
r
M
r
)
.
Пусть область
Ω
r
содержит подобласть
Ω
n
с точкой
ω
, при этом
область
Ω
n
принадлежит определенному дифференцируемому много-
образию
M
n
, хотя, возможно, удобно определять многообразие
M
n
отдельно от многообразия
M
r
. Более того, пусть множество гладких
кривых, принадлежащих многообразию
M
n
, имеет общую точку
ω
.
Определим также набор векторных полей
ξ
(
x
)
, являющихся касатель-
ными к этим кривым, и будем считать, что точка
x
2
Ω
n
, а на области
Ω
n
определена собственная координатная система.
Пусть также
δ
Ω
r
является достаточно малой окрестностью точки
ω
, в связи с этим задается и достаточно малая окрестность
δ
Ω
n
точ-
ки
x
(
x
≡
ω
2
δ
Ω
n
δ
Ω
r
). Координаты точки
x
запишем как
x
i
(
i, j, k, l, p, q
= 1
,
2
, . . . , n
). Используя векторные поля
δξ
(
x
)
, коорди-
наты соседней точки
x
0
=
x
+
δx
2
δ
Ω
n
перепишем в виде
x
0
i
=
x
i
+
δx
i
=
x
i
+
δω
a
(
x
)
ξ
i
a
(
x
)
.
Сравнивая значения полей
Υ
0
(
x
0
)
и
Υ (
x
0
)
, где
Υ
0
(
x
0
) = Υ +
δ
Υ = Υ +
δT
(Υ) = Υ +
δω
a
T
a
(Υ)
,
(2)
Υ (
x
0
) = Υ (
x
+
δx
) = Υ +
δω
a
ξ
i
a
∂
i
Υ
(
∂
i
— частные производные), видим, что они отличаются переменными
δ
0
Υ(
x
) =
δω
a
X
a
(Υ) =
δω
a
T
a
(Υ)
−
ξ
i
a
∂
i
Υ
,
(3)
которые можно интерпретировать как отклонения полей
Υ (
x
)
, полу-
ченных с помощью подстановок (2).
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
57
