Для рассматриваемого примера
l
(
X
) =
exp
−
(
X
−
b
)
2
2
σ
2
exp
−
(
X
−
a
)
2
2
σ
2
= exp
a
2
−
b
2
2
σ
2
exp
(
b
−
a
)
X
σ
2
.
В силу того, что
l
(
X
)
является монотонно возрастающей функцией,
условие
l
(
X
)
> l
0
эквивалентно условию
X > X
0
, где
X
0
— некоторое
пороговое значение, с которым сравнивается характеристика заемщи-
ка. Условие
l
(
X
)
< l
0
эквивалентно условию
X < X
0
. Оптимальная
функция решения
γ
опт
(
X
)
будет иметь следующий вид:
γ
опт
(
X
) =
1
,
если
X > X
0
,
0
,
если
X < X
0
.
(7)
Таким образом, для нормального закона распределения оптималь-
ной с точки зрения минимизации потерь, вызванных кредитовани-
ем “плохих” заемщиков и отказом в кредитах “хорошим” заемщикам,
является однопороговая функция решения.
На рис. 1 представлены графические изображения условных плот-
ностей вероятности
ϕ
(
X
|
S
0
)
и
ϕ
(
X
|
S
1
)
, а также функции решения
γ
опт
(
X
)
. На этом рисунке значение
P
1
(вероятности потери банком
всей суммы выданного кредита и процентов по нему) представляет
собой площадь под кривой
ϕ
(
X
|
S
1
)
правее порога
X
0
:
P
1
= 0
,
5
−
N
X
0
−
a
σ
,
(8)
где
N
(
u
)
— функция стандартного нормального распределения.
Анализ соотношения (8) показывает, что значение
P
1
определяется
только выбором порогового уровня
X
0
. Чем больше значение разно-
сти
X
0
−
a
(т. е. чем выше установлен порог относительно
a
), тем
меньше
P
1
.
Из выражения (8) при заданных значениях
P
1
и
σ
может быть
определена величина порога
X
0
:
X
0
=
a
+
σN
−
1
(0
,
5
−
P
1
)
,
(9)
где
N
−
1
(
u
)
— обратная функция стандартного нормального распреде-
ления.
Значение
ˆ
P
0
(вероятности потери “хорошего” заемщика) предста-
вляет собой площадь под кривой
ϕ
(
X
|
S
0
)
левее порога
X
0
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
115
