Автокорреляционные функции флуктуаций температуры. Точ-
ные результаты.
В этом разделе будут получены точные результаты,
с которыми сопоставим данные прямого численного моделирования
стохастического процесса флуктуаций температуры частицы. Точные
решения существуют для линейных уравнений. Рассмотрим уравнение
для флуктуаций температуры гранулы (1) без источника химической
реакции
dθ
p
(
t
)
dt
=
θ
f
(
t
)
−
θ
p
(
t
)
τ
Θ
.
(3)
Здесь предполагается, что средние значения флуктуаций температур
гранулы и среды
h
θ
p
(
t
)
i
=
h
θ
f
(
t
)
i
= 0
. Уравнение (3) — уравнение
релаксационного типа. Для
t τ
Θ
начальное значение температуры
гранулы “забудется” и не будет вносить вклад в динамику изменения
температуры. Флуктуации температуры гранулы будут определяться
только параметрами среды, поэтому для сокращения записи начальное
значение температуры гранулы примем равным нулю. Случайный про-
цесс
θ
f
(
t
)
— статистически стационарный случайный процесс Гаусса
с корреляционной функцией
h
θ
f
(
t
0
)
θ
f
(
t
00
)
i
=
θ
2
f
Ψ
f
(
t
0
−
t
00
)
.
(4)
Используя метод спектрального анализа случайных процессов [20,
21], находим из уравнений (3) и (4) корреляции и интенсивность флук-
туаций температуры гранулы для различных видов автокорреляцион-
ной функции флуктуаций температуры среды
Ψ
f
(
t
)
.
Случайные флуктуации температуры среды представим в виде
спектрального разложения по частотам
θ
f
(
t
) =
1
2
π
Z
e
−
iωt
dσ
(
ω
)
,
(5)
где
dσ
(
ω
)
— случайная мера в пространстве частот.
Подставив выражение для спектрального разложения (5) в формулу
(4), получим
h
θ
f
(
t
0
)
θ
f
(
t
00
)
i
=
1
(2
π
)
2
ZZ
e
iω
0
t
0
+
iω
00
t
00
h
dσ
(
ω
0
)
dσ
(
ω
00
)
i
.
(6)
Из условия статистической стационарности случайного процесса
(4) вытекает функциональный вид коррелятора случайной меры в про-
странстве частот:
h
dσ
(
ω
0
)
dσ
(
ω
00
)
i
= 2
π θ
2
f
ψ
f
(
ω
0
)
δ
(
ω
0
+
ω
00
)
.
(7)
Здесь
δ
(
ω
)
— дельта-функция Дирака;
ψ
f
(
ω
)
— спектр случайного
процесса
θ
f
(
t
)
.
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
