Согласно формуле (19), дисперсия флуктуаций температуры грану-
лы меньше, чем среды. Интегральный временн ´ой масштаб автокорре-
ляционной функции
Ψ
p
(
t
)
совпадает со временем тепловой релакса-
ции частицы. Таким образом, уравнение (3), когда источником флук-
туаций является белый шум, привело к статистически стационарному
случайному процессу с экспоненциально спадающей автокорреляци-
онной функции с конечным временем затухания.
Рассмотрим случай, когда
θ
f
(
t
)
—
случайный процесс с экспонен-
циально спадающей автокорреляционной функцией
Ψ
f
(
t
) =
e
−
t
T
E
.
(20)
Спектр этого случайного процесса
ψ
f
(
ω
) =
∞
Z
−∞
e
iωt
−
|
t
|
T E
dt
=
2
T
E
1 + (
ωT
E
)
2
.
(21)
Этот спектр (см. (11)) соответствует случайному процессу с конеч-
ной энергией, но недифференцируемому. Из формул (15) и (21) полу-
чим выражение для корреляции флуктуаций температуры гранулы
θ
2
p
Ψ
p
(
t
) =
θ
2
f
2
π
∞
Z
−∞
2
T
E
e
−
iωt
1 + (
ωτ
Θ
)
2
1 + (
ωT
E
)
2
dω.
Отметим, что этот случайный процесс является уже дифференцируе-
мым. Интеграл вычисляется методами теории вычетов
θ
2
p
Ψ
p
(
t
) =
θ
2
f
e
−
t
T
E
−
(
τ
Θ
/T
E
)
e
−
t
τ
Θ
1
−
(
τ
Θ
/T
E
)
2
.
(22)
При
t
= 0
из выражения (22) следует формула для интенсивности
флуктуаций температуры гранулы
θ
2
p
=
θ
2
f
1 + (
τ
Θ
/T
E
)
.
(23)
Видно, что можно выделить два типа гранул. Первый тип — мелкие
гранулы, время тепловой релаксации которых существенно меньше
интегрального временн´ого масштаба флуктуаций температуры среды:
τ
Θ
T
E
. В этом случае квадраты дисперсий флуктуаций температуры
гранулы и среды близки:
θ
2
p
≈
θ
2
f
. Второй тип — крупные грану-
лы, время тепловой релаксации которых существенно больше, чем
интегральный временн´ой масштаб:
τ
Θ
T
E
. Интенсивность флукту-
аций температуры гранулы мала:
θ
2
p
≈
(
T
E
/τ
Θ
)
θ
2
f
. С учетом фор-
мул (22) и (23) следует выражение для автокорреляционной функции
12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
