Согласно формуле (14), для времени б´ольшего, чем время тепловой
релаксации гранулы, флуктуации температуры также являются стати-
стически стационарным случайным процессом. Из формулы (14) мож-
но получить выражения для автокорреляционной функции и квадрата
дисперсии флуктуаций температуры гранулы:
θ
2
p
Ψ
p
(
t
) =
θ
2
f
2
π
∞
Z
−∞
e
−
iωt
ψ
f
(
ω
)
1 + (
ωτ
Θ
)
2
dω
;
(15)
θ
2
p
=
θ
2
f
2
π
∞
Z
−∞
ψ
f
(
ω
)
1 + (
ωτ
Θ
)
2
dω.
Рассмотрим два частных случая автокорреляционной функции
флуктуаций температуры среды. Случайный процесс
θ
f
(
t
)
—
дельта-
коррелированный во времени случайный процесс
. Автокорреляционная
функция (4) имеет вид
h
θ
f
(
t
0
)
θ
f
(
t
00
)
i
=
θ
2
f
Ψ
f
(
t
0
−
t
00
) =
θ
2
f
2
τ
◦
δ
(
t
0
−
t
00
)
,
(16)
где
τ
◦
— временн´ой микромасштаб.
Интегральный временной масштаб автокорреляционной функции
(16) равен
∞
Z
0
Ψ
f
(
s
)
ds
= 2
τ
◦
∞
Z
0
δ
(
s
)
ds
=
τ
◦
.
Спектр дельта-коррелированного случайного процесса получим из
формул (10) и (16)
ψ
f
(
ω
) = 2
τ
◦
∞
Z
−∞
e
iωs
δ
(
s
)
ds
= 2
τ
◦
.
(17)
В соответствии с формулами (9) и (17) энергия белого шума бес-
конечна. Подставив спектр дельта-коррелированного процесса (17) в
формулу (15), получим выражение для корреляции флуктуаций тем-
пературы гранулы
θ
2
p
Ψ
p
(
t
) =
θ
2
f
2
π
∞
Z
−∞
e
−
iωt
2
τ
◦
1 + (
ωτ
Θ
)
2
dω
=
θ
2
f
τ
◦
τ
Θ
e
−
t
τ
Θ
.
(18)
Интеграл в формуле (18) вычисляется методами теории вычетов.
Из формулы (18) следуют выражения для квадрата дисперсии и для
автокорреляционной функции флуктуаций температуры гранулы
θ
2
p
=
τ
◦
τ
p
θ
2
f
θ
2
f
; Ψ
p
(
t
) =
e
−
t
τ
Θ
.
(19)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
11
