Однако это невозможно
,
так как
k
f
m
(
t
)
k
B
α
= 1
,
k
y
m
(
t
)
k
B
α
1
→ ∞
.
Пункт в
)
доказан
.
Докажем пункт г
).
В соответствии с пунктом
2
имеем
|
K
(
t, s
)
|
6
B
ε
e
(
β
0
+
ε
)
t
e
as
,
где
a
—
число
,
ограничивающее порядок роста
c
j
(
s
)
;
полагаем
a
>
0
.
Поэтому для
f
(
t
)
получим
|
y
(
t
)
|
=
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
t
Z
0
K
(
t, s
)
f
(
s
)
ds
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
6
B
ε
C
ε
t
Z
0
e
(
β
0
+
ε
)
t
e
as
e
(
α
+
ε
)
s
ds
=
=
B
ε
C
ε
e
(
β
0
+
ε
)
t
e
(
a
+
α
+
ε
)
t
−
1
a
+
α
+
ε
.
Если
,
например
,
α
0
=
−
2
a, α
6
α
0
,
то
|
y
(
t
)
|
6
B
ε
C
ε
e
(
β
0
+
ε
)
t
1
a
−
ε
6
D
ε
e
(
β
0
+
ε
)
t
,
y
(
t
)
∈
E
β
0
,
что и требовалось доказать
.
Сопоставляя оценки экспоненциальной характеристики
κ
(
α
),
полу
-
ченные в пунктах а
)–
г
):
κ
(
α
)
6
max (
γ
0
, α
)
при всех
α
,
κ
(
α
)
>
α
при
всех
α
,
κ
(
α
)
=
α
при
α
>
γ
0
,
κ
(
α
)
>
β
0
при всех
α
,
существует
α
0
>
−∞
такое
,
что
κ
(
α
)
6
β
0
при
α
6
α
0
, —
приходим к форму
-
лировке теоремы
.
В заключение отметим
,
что для уравнения
(3)
с периодическими ко
-
эффициентами генеральный и старший показатели однородного урав
-
нения совпадают
,
откуда сразу следует основной результат работы
[6];
канонический вид экспоненциальной характеристики этого уравнения
следующий
:
κ
(
α
) = max (
α, α
0
)
,
где
α
0
=
β
0
=
γ
0
—
старший ляпуновский показатель
.
Из этого следует
,
что при
α > α
0
показатель экспоненциального роста
κ
(
α
)
решений
y
(
t
)
начальной задачи
(4)
зависит от показателя роста правых частей
f
(
t
)
,
а
при
α
6
α
0
показатель роста
κ
(
α
)
решений
y
(
t
)
не зависит от показа
-
теля роста правых частей
,
т
.
е
.
в случае
α
0
>
0
при очень быстро убы
-
вающих правых частях
f
(
t
)
,
стремящихся к нулю
,
решения
y
(
t
)
растут
очень быстро
.
Этот случай можно назвать сильной неустойчивостью
.
Пример
.
Рассмотрим неоднородное уравнение Перрона
[5]
dy
dt
= (sin ln
t
+ cos ln
t
)
y
+
f
(
t
);
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
39
