Если
f
(
t
)
пробегает
B
α
,
то
y
(
t
)
включается в
E
κ
(
α
)
,
следовательно
,
и в
B
α
1
.
Таким образом
,
оператор
(5)
действует следующим образом
:
B
α
K
(
f
)
−−→
B
α
1
.
Этот оператор замкнут и
,
следовательно
,
по теореме Банаха
,
огра
-
ничен
:
k
y
k
B
α
1
6
C
k
f
k
B
α
.
С другой стороны
,
имеем
|
y
m
(
t
m
)
|
e
α
1
t
m
>
1
2
δ
n
n
!
e
(
α
−
α
1
)
t
m
→ ∞
и
,
следовательно
,
k
y
m
(
t
)
k
B
α
1
→ ∞
,
в то время как
k
f
m
(
t
)
k
B
α
= 1
.
Из пунктов а
),
б
)
следует
,
что
κ
(
α
) =
α
при
α
>
γ
0
.
Докажем пункт в
).
План доказательства
—
тот же
,
что и для пунк
-
та б
).
Пусть
β
0
, t
m
→ ∞
,
M
m
→ ∞
(
см
.
неравенство
(13)).
Используем
равенство
K
(
t
m
, s
) =
K
(
t
m
, s
0
) +
s
Z
s
0
∂K
(
t
m
, σ
)
∂s
dσ
и положим
f
m
(
t
) =
(
e
αt
при
s
0
6
t
6
s
0
+
δ
m
,
0
при
t
∈
[
s
0
, s
0
+
δ
m
]
.
Последовательность
δ
m
такова
,
что
0
6
δ
m
6
1
,
δ
m
→
0
,
а в осталь
-
ном произвольна
.
Имеем
y
m
(
t
m
) =
t
m
Z
0
K
(
t
m
, s
0
)
f
m
(
s
)
ds
+
t
m
Z
0
s
Z
s
0
∂K
(
t
m
, σ
)
∂s
dσ
f
m
(
s
)
ds
=
=
K
(
t
m
, s
0
)
s
0
+
δ
m
Z
s
0
e
αs
ds
+
s
0
+
δ
m
Z
s
0
s
Z
s
0
∂K
(
t
m
, σ
)
∂s
dσ
e
αs
ds,
откуда
|
y
m
(
t
m
)
|
>
M
m
e
(
β
0
−
ε
)
t
m
δ
m
e
α
(
s
0
+ ˜
δ
m
)
−
δ
2
m
2
e
αδ
∗
m
max
¯ ¯ ¯ ¯
∂K
(
t
m
, σ
)
∂s
¯ ¯ ¯ ¯
;
здесь
˜
δ
m
=
(
0
при
α
>
0
,
δ
m
при
α <
0
,
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
37
