Заменим теперь
t
0
на
t
0
+
δ
и повторим рассуждение
.
Получим
k
¯
ϕ
(
t
)
k
6
ϕ
1
e
2
D
(
t
−
t
0
−
δ
)
,
где
ϕ
1
>
0
,
ϕ
1
>
k
¯
ϕ
(
t
0
+
δ
)
k
.
В силу неравенства
(10)
можно положить
ϕ
1
=
ϕ
0
e
2
Dδ
.
Тогда
k
¯
ϕ
(
t
)
k
6
ϕ
0
e
2
Dδ
e
2
D
(
t
−
t
0
−
δ
)
=
ϕ
0
e
2
D
(
t
−
t
0
)
при
t
0
6
t
6
t
0
+
δ
+
δ
0
.
Итак
,
неравенство вида
(9)
остается справедливым в расширяю
-
щейся серии промежутков
[
t
0
, t
0
+
δ
]
,
[
t
0
, t
0
+
δ
+
δ
0
]
,
[
t
0
, t
0
+
δ
+
δ
0
+
+
δ
00
]
, . . .
.
Отсюда следует
,
что оно верно при всех
t > t
0
.
В самом деле
,
пусть
[
t
0
, t
0
+ ∆]
— “
максимальный
”
промежуток
,
на котором спра
-
ведливо неравенство
(9) (
такой существует
,
поскольку неравенство
(9)
нестрогое и входящие в него функции непрерывны
).
Выбирая
t
0
+ ∆
в
качестве начальной точки и повторяя рассуждение
,
приходим к выво
-
ду
,
что неравенство
(9)
справедливо в промежутке более широком
,
чем
[
t
0
, t
0
+ ∆]
.
Лемма доказана
.
Следствие
1
.
Всякое решение
y
(
t
)
однородного уравнения
L
(
y
) = 0
с ограниченными коэффициентами
,
а также его производные
y
0
(
t
)
, y
00
(
t
)
, . . . , y
(
n
)
(
t
)
—
функции экспоненциального типа
,
так как
для всякого такого решения выполняется неравенство
(8).
Следствие
2
.
В формулах
(6)
и
(7)
для
K
(
t, s
)
и
∂K
(
t, s
)
/∂s
все
коэффициенты
c
j
(
s
)
и
c
0
j
(
s
)
—
функции экспоненциального типа
,
так
как
W
(
s
) =
W
(0) exp
µ
−
s
Z
0
p
1
(
σ
)
dσ
¶
,
(
W
(
s
))
−
1
= (
W
(0))
−
1
exp
µ
s
Z
0
p
1
(
σ
)
dσ
¶
и
|
p
j
(
s
)
|
6
M
.
Следствие
3
.
Для
K
(
t, s
)
и всех частных производных
∂
j
K
(
t, s
)
/∂t
j
,
j
= 1
, n
,
выполняется
¯ ¯ ¯ ¯
∂
j
K
(
t, s
)
∂t
j
¯ ¯ ¯ ¯
6
De
∆(
t
−
s
)
, j
= 0
, n
(
11
)
(
D,
∆
достаточно велики
).
Это следует из того
,
что при фиксированном
s
имеем
L
(
K
) = 0
, K
(
s, s
) =
(
0
при
n >
1
,
1
при
n
= 1
.
34
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
