Далее применим лемму
(
следствие
1),
выбрав в качестве начальной
точки
t
0
=
s
0
.
3.
Определим число
γ
0
как показатель экспоненциального роста
K
(
t, s
)
по обеим переменным
.
Рассмотрим точную нижнюю грань
γ
0
тех
γ
,
при которых
sup
0
6
s
6
t<
∞
|
K
(
t, s
)
|
e
γ
(
t
−
s
)
<
∞
.
Тогда для любого
ε >
0
имеем
|
K
(
t, s
)
|
6
A
ε
e
(
γ
0
+
ε
)(
t
−
s
)
,
(
12
)
и существуют
M
n
→ ∞
,
t
n
,
s
n
,
t
n
−
s
n
→ ∞
,
такие
,
что
|
K
(
t
n
, s
n
)
|
=
M
n
e
(
γ
−
ε
)(
t
n
−
s
n
)
∀
ε >
0
.
В соответствии с работой
[5]
γ
0
—
генеральный показатель уравне
-
ния
(2).
Определим далее число
β
0
как показатель экспоненциального роста
по
t
функции двух переменных
K
(
t, s
)
.
Тогда для любого
ε >
0
|
K
(
t, s
)
|
6
B
ε,s
e
(
β
0
+
ε
)(
t
−
s
)
и при некотором
s
0
k
K
(
t
n
, s
0
)
k
6
M
n
e
(
β
0
−
ε
)(
t
n
−
s
0
)
,
M
n
→ ∞
, t
n
→ ∞
.
(
13
)
В работе
[5]
доказано
,
что показатель по
t
функции Коши равен
старшему ляпуновскому показателю уравнения
(2).
Старший и генеральный показатели связаны соотношением
β
0
6
γ
0
.
Доказательство теоремы
.
Покажем
,
что
а
)
κ
(
α
)
6
max
(
γ
0
, α
)
при всех
α
,
б
)
κ
(
α
)
>
α
при всех
α
,
в
)
κ
(
α
)
>
β
0
при всех
α
,
г
)
существует
α
0
>
−∞
такое
,
что
κ
(
α
)
6
β
0
при
α
6
α
0
.
Докажем пункт а
).
Пусть
f
(
t
)
∈
E
α
,
|
f
(
t
)
|
6
C
ε
e
(
α
+
ε
)
t
.
Учитывая
неравенство
(12),
имеем
|
y
(
t
)
|
=
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
t
Z
0
K
(
t, s
)
f
(
s
)
ds
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
6
A
ε
C
ε
t
Z
0
e
(
γ
0
+
ε
)(
t
−
s
)
e
(
α
+
ε
)
s
ds
=
=
A
ε
C
ε
α
−
γ
0
¡
e
(
α
+
ε
)
t
−
e
(
γ
0
+
ε
)
t
¢
=
(
C
0
ε
e
(
α
+
ε
)
t
при
α > γ
0
,
C
00
ε
e
(
γ
0
+
ε
)
t
при
α < γ
0
.
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
35
