Это множество обозначим
B
α
.
Легко видеть
,
что
B
α
—
банахово
пространство с нормой
k
f
k
B
α
= sup
0
≤
t<
∞
|
f
(
t
)
|
e
−
αt
.
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор
L
(
y
) =
y
(
n
)
+
P
1
(
t
)
y
(
n
−
1)
+
. . .
+
P
n
(
t
)
y,
0
6
t <
∞
,
с непрерывными коэффициентами
,
ограниченными на полуоси
:
|
P
j
(
t
)
| ≤
M, j
= 1
, n.
(1)
Известно
[4],
что в этом случае все решения уравнения
L
(
y
) = 0
(2)
имеют конечные показатели экспоненциального роста
∗
.
Более того
,
для
уравнения
L
(
y
) =
f
(
t
)
,
(3)
правая часть которого экспоненциального типа
,
все решения также
являются функциями экспоненциального типа
.
Пусть
y
1
(
t
)
, y
2
(
t
)
, . . . , y
n
(
t
)
—
базис уравнения
(2),
α
1
, α
2
, . . . , α
n
—
соответствующие показатели экспоненциального роста
.
Число
α
0
—
наибольшее из чисел
α
j
, j
= 1
, n
, —
называется старшим
(
ляпунов
-
ским
)
показателем оператора
L
(
y
)
и уравнения
(2) [5].
Рассмотрим неоднородное уравнение
(3).
Для упрощения предпо
-
ложим
,
что оно имеет нулевые начальные условия
,
т
.
е
.
рассматривается
начальная задача
L
(
y
) =
f
(
t
)
,
y
(0) =
y
0
(0) =
. . .
=
y
(
n
−
1)
(0) = 0
.
(
4
)
Легко видеть
,
что если
f
(
t
)
пробегает
E
α
,
то соответствующая сово
-
купность решений
y
(
t
)
задачи
(4)
покрывается пространством
E
β
при
достаточно большом
β
.
Обозначим
κ
(
α
)
точную нижнюю грань тех
β
,
при которых пространство
E
β
содержит все решения начальной зада
-
чи
(4).
Неубывающую функцию
κ
(
α
)
назовем экспоненциальной характе
-
ристикой этой задачи
.
∗
Предполагается
,
что для этого уравнения и для соответствующего неоднород
-
ного уравнения имеет место теорема существования и единственности
.
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
31
