В настоящей работе определяется вид экспоненциальной характе
-
ристики
κ
(
α
)
уравнения
(3)
с ограниченными коэффициентами
(1)
и
нулевыми начальными условиями
,
т
.
е
.
начальной задачи
(4).
В работе
[6]
рассмотрен случай
,
когда коэффициенты
P
j
(
t
)
уравне
-
ния
(3)
являются периодическими функциями
:
P
j
(
t
+
ω
) =
P
j
(
t
)
, j
= 1
, n.
Показано
,
что если
α
0
—
старший ляпуновский показатель уравне
-
ния
(2),
то
κ
(
α
) = max(
α, α
0
)
,
т
.
е
.
экспоненциальная характеристика имеет так называемый канони
-
ческий вид
.
В работе
[6]
также приведен пример
(
уравнение первого порядка
),
показывающий
,
что при отказе от периодичности экспоненциальная ха
-
рактеристика может иметь более сложную форму
.
Настоящую работу можно рассматривать как продолжение работы
[6].
Основным результатом является следующая
Теорема
.
Для задачи
(4)
при условиях
(1)
существуют
α
0
,
β
0
,
γ
0
,
−∞
< α
0
6
β
0
6
γ
0
<
+
∞
,
такие
,
что
κ
(
α
) =
β
0
при
α
6
α
0
и
κ
(
α
) =
α
при
α
>
γ
0
(
κ
(
α
)
в промежутке
(
α
0
, γ
0
)
является неубываю
-
щей функцией
).
Доказательству основного результата предпошлем следующие за
-
мечания
.
1.
Решение задачи
(4)
задается интегральным оператором
y
(
t
) =
t
Z
0
K
(
t, s
)
f
(
s
)
ds,
(
5
)
где
K
(
t, s
) =
c
1
(
s
)
y
1
(
t
) +
c
2
(
s
)
y
2
(
t
) +
. . .
+
c
n
(
s
)
y
n
(
t
) =
=
1
W
(
s
)
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
y
1
(
s
)
y
2
(
s
)
. . .
y
n
(
s
)
y
0
1
(
s
)
y
0
2
(
s
)
. . .
y
0
n
(
s
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y
(
n
−
2)
1
(
s
)
y
(
n
−
2)
2
(
s
)
. . . y
(
n
−
2)
n
(
s
)
y
1
(
t
)
y
2
(
t
)
. . .
y
n
(
t
)
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
,
(6)
—
функция Коши
,
y
1
(
t
)
, y
2
(
t
)
, . . . , y
n
(
t
)
—
базис однородного уравне
-
ния
(2),
W
(
s
) =
¯ ¯ ¯
y
(
k
−
1)
i
(
s
)
¯ ¯ ¯
n
1
—
соответствующий вронскиан
.
Отсюда
32
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
