Рис. 1. Расчетная схема процесса теплопроводности в среде вокруг сферической
частицы
физических величин в общем случае также будут являться немарков-
скими случайными процессами.
Постановка задачи.
Рассмотрим неподвижную сферическую ча-
стицу радиусом
R
, температуропроводностью
χ
м
и объемной тепло-
емкостью
c
V
, в центр которой поместим начало сферической системы
координат (рис. 1). Температуру поверхности частицы будем считать
некоторой функцией времени
T
R
(
t
)
. Среду вне сферической частицы
(при
r > R
) считаем однородной с постоянными плотностью
ρ
, те-
плопроводностью
κ
и температуропроводностью
χ
, причем
χ χ
м
.
Начальная температура во всем пространстве равна некоторой посто-
янной величине
T
0
. Изменением радиуса сферической частицы вслед-
ствие изменения температуры пренебрегаем. Ясно, что в рассматрива-
емом случае температура среды будет зависеть только от расстояния
до центра сферы
r
и времени
t
и уравнение теплопроводности примет
вид
∂T
(
r, t
)
∂t
=
χ
r
∂
2
(
rT
(
r, t
))
∂r
2
(
r > R
)
(1)
с граничным и начальным условиями
T
(
r, t
)
|
r
=
R
=
T
R
(
t
);
(2)
T
(
r, t
)
|
t
=0
=
T
0
.
(3)
Для потока теплоты
q
T
(
t
)
через поверхность сферической оболочки
радиусом
R
справедливо общее соотношение
q
T
(
t
) =
−
κ
∂T
(
r, t
)
∂r
r
=
R
.
(4)
В то же время поток
q
T
(
t
)
при учете его флуктуаций через по-
верхность оболочки радиусом
R
может быть определен с помощью
выражения
q
T
(
t
) =
−
с
V
R
3
dT
R
(
t
)
dt
+
ξ
q
T
(
t
)
,
(5)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
69
