где
ξ
q
T
(
t
)
— случайный тепловой поток (источник Ланжевена), свой-
ства которого зависят от характера источника флуктуаций, причем
h
ξ
q
T
(
t
)
i
= 0
. Отметим, что соотношение (5) справедливо для случая
предполагаемой высокой тепловой проводимости частицы.
Во многих случаях можно считать, что поток
ξ
q
T
(
t
)
представляет
собой белый шум с интенсивностью
ν
. Граничную частоту
ω
гр
такого
шума можно оценить с помощью характеризующих задачу параме-
тров — радиуса частицы
R
и коэффициента температуропроводности
материала частицы
χ
м
, согласно соотношению
ω
гр
χ
м
R
2
.
(6)
Для медной частицы с коэффициентом температуропроводности
χ
м
= 10
−
4
м
2
/с и радиусом 10 мкм получим
ω
гр
10
6
с
−
1
.
Значение интенсивности
ν
случайного теплового потока можно
оценить по формуле
ν
κ
R
3
k
B
T
2
,
(7)
где
k
B
— постоянная Больцмана. Для рассматриваемой выше частицы,
помещенной в воду, получим оценку
ν
10
−
3
Дж
2
/(м
4
∙
с).
Стохастическое интегральное уравнение.
Решение задачи (1)–(3)
будем искать с помощью введения вспомогательной функции
f
(
r, t
) =
rT
(
r, t
)
.
(8)
В этом случае уравнения (1)–(3) запишутся в виде
∂f
(
r, t
)
∂t
=
χ
∂
2
f
(
r, t
)
∂r
2
(
r > R
);
(9)
f
(
r, t
)
|
r
=
R
=
RT
R
(
t
)
,
(10)
f
(
r, t
)
|
t
=0
=
T
0
r.
(11)
Последние выражения формально соответствуют одномерному
уравнению теплопроводности для величины
f
(
r, t
)
. Решение подоб-
ного рода задач представляет собой, как известно [4], сумму двух
слагаемых. Первое слагаемое связано с первоначальным распреде-
лением температуры (и не зависит от изменений температуры на
границах), второе — с присутствием граничных функций температур
или потоков. Из физических соображений ясно, что в рассматриваемой
задаче ввиду наличия термодинамического равновесия в начальный
момент времени неслучайная составляющая потока теплоты через
границу среды, вызванная начальным распределением температуры,
будет иметь нулевое значение. Тогда решение задачи (9)–(11) запишем
70
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
