как
f
(
r, t
) =
R
2
√
πχ
t
Z
0
r
−
R
(
t
−
τ
)
3
/
2
exp
−
(
r
−
R
)
2
4
χ
(
t
−
τ
)
T
R
(
τ
)
dτ.
(12)
Для получения уравнения, определяющего значение теплового по-
тока
q
T
(
t
)
, воспользуемся соотношением, следующим из (4) и (8):
∂f
(
r, t
)
∂r
r
=
R
=
−
R
κ
q
T
(
t
) +
T
R
(
t
)
.
(13)
Производную
∂f
(
r, t
)
∂r
определим из формулы:
∂f
(
r, t
)
∂r
=
=
R
2
√
πχ
t
Z
0
1
(
t
−
τ
)
3
/
2
−
2(
r
−
R
)
2
4
χ
(
t
−
τ
)
5
/
2
exp
−
(
r
−
R
)
2
4
χ
(
t
−
τ
)
T
R
(
τ
)
dτ .
(14)
Интегрирование по частям позволяет записать последнее выражение
в виде
∂f
(
r, t
)
∂r
=
−
R
√
πχ
t
Z
0
1
√
t
−
τ
exp
−
(
r
−
R
)
2
4
χ
(
t
−
τ
)
dT
R
(
τ
)
dτ
dτ .
(15)
Нахождение из формулы (15) величины
∂f
(
r, t
)
∂r
r
=
R
и ее подстановка
в (13) приводят к следующему соотношению для теплового потока:
q
T
(
t
) =
κ
√
πχ
t
Z
0
1
√
t
−
τ
+
√
πχ
R
dT
R
(
τ
)
dτ
dτ.
(16)
Введя замены
Z
(
t
) =
dT
R
(
t
)
dt
,
˜
ξ
q
T
=
3
c
V
R
ξ
q
T
(17)
и воспользовавшись выражением (5), получим искомое соотношение,
связывающее случайный тепловой поток
ξ
q
T
(
t
)
через границу сфери-
ческой оболочки и производную температуры
T
R
(
t
)
на поверхности
по времени, имеющее вид интегрального уравнения Вольтерра второ-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
71
