го рода:
Z
(
t
) +
3
κ
c
V
R
√
πχ
t
Z
0
1
√
t
−
τ
+
√
πχ
R
Z
(
τ
)
dτ
= ˜
ξ
q
T
(
t
)
.
(18)
Полученное уравнение (18), ядро которого представляет собой сум-
му слагаемого абелевого типа и постоянной величины, не может быть
сведено к конечной системе стохастических дифференциальных урав-
нений [5]. Таким образом, случайные процессы
Z
(
t
)
и
q
T
(
t
)
, а также
флуктуации температуры
T
R
(
t
)
, представляющей собой интеграл по
времени от функции
Z
(
t
)
, являются немарковскими [6].
Следует отметить, что уравнение, аналогичное (18), получено при
описании броуновского движения сферической частицы в вязкой среде
при учете увлечения ею окружающих частиц среды [2].
Отметим также, что выражение (18) справедливо при описании
одномерного процесса теплопроводности в полупространстве над по-
верхностью плоского слоя конечной толщины. Действительно, рас-
смотрим сферическую оболочку радиусом
R
и толщиной
h
, такой,
что
h R
. Теплоемкость
С
такой оболочки определяется равен-
ством
C
=
с
V
∙
4
πR
2
h
. Введя величину
с
S
=
C
4
πR
2
=
c
V
h
, пред-
ставляющую собой теплоемкость оболочки, отнесенную к единице
площади ее поверхности, вместо формулы (5) получим равенство
q
T
(
t
) =
−
с
V
∙
4
πR
2
h
4
πR
2
dT
R
(
t
)
dt
+
ξ
q
T
(
t
) =
−
c
S
dT
R
(
t
)
dt
+
ξ
q
T
(
t
)
. Тогда
для интегрального стохастического уравнения, описывающего про-
цесс распространения теплоты в среде, ограниченной бесконечным
плоским слоем, вместо соотношения (18) запишем выражение
Z
(
t
) +
κ
с
S
√
πχ
t
Z
0
1
√
t
−
τ
Z
(
τ
)
dτ
= ˜
ξ
q
T
(
t
)
,
(19)
где
c
S
— теплоемкость единицы площади рассматриваемого плоского
слоя.
Общий вид решения уравнения (18) можно представить с помощью
интегрального оператора
Z
(
t
) = ˜
ξ
q
T
(
t
) +
t
Z
0
K
(
t
−
τ
) ˜
ξ
q
T
(
τ
)
dτ,
(20)
где
K
(
t
−
τ
)
— резольвента для уравнения (18), которая может быть
записана с помощью бесконечного ряда [7]
72
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
