где
G
(
t, τ
)
—
непрерывная функция переменной
τ
,
то этот процесс мо
-
жет не являться марковским процессом
.
Здесь полагаем
,
что интеграл
(2)
представляет собой интеграл Ито
[1–3].
Частный случай использо
-
вания преобразования
(2)
для описания дробового эффекта исследован
в работе
[1].
Из выражения
(2)
следует
,
что начальное условие для процесса
Z
(
t
)
имеет вид
Z
(
t
)
¯ ¯ ¯
t
=0
= 0
,
(3)
а
,
следовательно
,
его одномерная характеристическая функция
g
1
(
λ
;
t
)
имеет начальное условие
[1]
g
1
(
λ
;
t
)
¯ ¯ ¯
t
=0
= 1
.
(4)
Если интегральное преобразование
(2)
имеет ядро
G
(
t, τ
)
,
допуска
-
ющее сведение уравнения
(2)
к конечномерной системе уравнений ти
-
па
(1),
то задача нахождения статистических характеристик процесса
Z
(
t
)
может быть решена стандартными методами теории стохастиче
-
ских дифференциальных систем
[1–4].
Однако в общем случае такое
преобразование невозможно
,
поэтому необходима разработка методи
-
ки нахождения статистических характеристик процесса
Z
(
t
)
,
описыва
-
емого уравнением
(2).
Целью настоящей работы является построение метода нахождения
L
-
мерной характеристической функции
g
L
(
λ
1
, . . . , λ
L
;
t
1
, . . . , t
L
)
про
-
цесса
Z
(
t
)
,
описываемого линейным интегральным преобразовани
-
ем
(2).
Случай сведения к дифференциальному уравнению
.
Если ядро
интегрального преобразования
(2)
имеет вид
G
(
t, τ
) = exp(
−
α
(
t
−
τ
))
,
(5)
то уравнение
(2)
позволяет получить уравнение Ито
dZ
=
−
αZdt
+
dW
(
t
)
(6)
с начальным условием
(3).
В случае
,
если одномерная характеристическая функция процесса
с независимыми приращениями
W
(
t
)
имеет вид
h
1
(
λ
;
t
)
,
то уравнение
для
L
-
мерной характеристической функции
g
L
(
λ
1
, . . . , λ
L
;
t
1
, . . . , t
L
)
процесса
Z
(
t
)
,
описываемого уравнением
(6),
можно представить в
виде
[1]
∂g
L
∂t
=
−
αλ
∂g
L
∂λ
L
+
χ
(
λ
L
;
t
L
)
g
L
,
(7)
48
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
3
