Отметим
,
что процессы
,
описываемые
L
-
мерными характеристиче
-
скими функциями
(12)
и
(14),
являются марковскими случайными про
-
цессами и удовлетворяют условию
(9).
Построение одномерной характеристической функции
.
Будем
полагать
,
что преобразование
(2)
представляет собой интеграл Ито
[1–3].
Разобьем интервал
(0,
t
)
на
N
равных интервалов продолжитель
-
ностью
∆
t
=
t/N
.
Моменты времени
t
n
,
соответствующие окончаниям
интервалов
,
удовлетворяют условию
t
0
= 0
< t
1
< . . . < t
N
−
1
< t
N
=
t
.
Тогда интеграл Ито в уравнении
(2)
можно заменить средним квадра
-
тическим пределом
Z
(
t
) = lim
N
→∞
N
−
1
X
n
=0
G
(
t, t
n
) ∆
W
(
t
n
)
,
(15)
где
∆
W
(
t
n
) =
W
(
t
n
+1
)
−
W
(
t
n
)
—
независимые приращения процесса
W
(
t
n
)
.
Одномерная характеристическая функция
g
1
(
λ
;
t
)
процесса
Z
(
t
)
вы
-
ражается формулой
g
1
(
λ
;
t
) =
h
exp(
iλZ
(
t
))
i
,
(16)
где операция
h·i
представляет собой нахождение математического ожи
-
дания
.
Подставляя выражение
(15)
в формулу
(16),
получим
g
1
(
λ
;
t
) =
*
exp
Ã
iλ
lim
N
→∞
N
−
1
X
n
=0
G
(
t, t
n
) ∆
W
(
t
n
)
!+
=
=
*
lim
N
→∞
N
−
1
Y
n
=0
exp(
iλG
(
t, t
n
) ∆
W
(
t
n
))
+
.
(17)
Поскольку приращения
∆
W
(
t
n
)
являются независимыми
,
то по
-
следнее выражение в формуле
(17)
приобретает вид
g
1
(
λ
;
t
) = lim
N
→∞
N
−
1
Y
n
=0
h
exp(
iλG
(
t, t
n
) ∆
W
(
t
n
))
i
.
(18)
Логарифмируя выражение
(18),
получим
ln
g
1
(
λ
;
t
) = lim
N
→∞
N
−
1
X
n
=0
ln
h
(
λ
;
t
;
t
n
)
,
(19)
50
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
3
