Общий случай построения
L
-
мерной характеристической функ
-
ции
.
Для нахождения
L
-
мерной характеристической функции получим
интегральное преобразование
(2)
для произвольных моментов времени
t
l
,
причем для определенности будем полагать
,
что
t
l
+1
> t
l
:
Z
(
t
l
) =
t
l
Z
0
G
(
t
l
, τ
)
dW
(
τ
)
,
(29)
где
l
= 1
,
2
, . . . , L
.
Учитывая то
,
что выражение
(29)
представляет со
-
бой интеграл Ито
,
заменим его средним квадратическим пределом
:
Z
(
t
l
) = lim
N
l
→∞
N
l
−
1
X
n
=0
G
(
t
l
, t
n
) ∆
W
(
t
n
);
(30)
здесь
N
l
—
число разбиений интервала
(0,
t
l
).
По определению
L
-
мерная характеристическая функция
g
L
(
λ
1
, . . . ,
λ
L
;
t
1
, . . . , t
L
)
выражается формулой
g
L
(
λ
1
, . . . , λ
L
;
t
1
, . . . , t
L
) =
*
exp
Ã
i
L
X
l
=1
λ
l
Z
(
t
l
)
!+
.
(31)
Подставив выражение
(30)
в формулу
(31),
получим
g
L
(
λ
1
, . . . , λ
L
;
t
1
, . . . , t
L
) =
=
*
exp
Ã
i
L
X
l
=1
λ
l
lim
N
l
→∞
N
l
−
1
X
n
=0
G
(
t
l
, t
n
) ∆
W
(
t
n
)
!+
=
=
*
exp
Ã
i
lim
N
L
→∞
N
L
−
1
X
n
=0
Ã
L
X
l
=1
λ
l
G
(
t
l
, t
n
)
!
∆
W
(
t
n
)
!+
.
(32)
При получении выражения
(32)
введено условие
G
(
t
l
, t
n
)
¯ ¯ ¯
t
n
>t
l
= 0
.
(33)
Выполнив преобразования
,
аналогичные преобразованиям
(17)
и
(18),
получим
g
L
(
λ
1
, . . . , λ
L
;
t
1
, . . . , t
L
) =
=
*
lim
N
L
→∞
N
L
−
1
Y
n
=0
exp
Ã
i
Ã
L
X
l
=1
λ
l
G
(
t
l
, t
n
)
!
∆
W
(
t
n
)
!+
=
= lim
N
L
→∞
N
L
−
1
Y
n
=0
*
exp
Ã
i
Ã
L
X
l
=1
λ
l
G
(
t
l
, t
n
)
!
∆
W
(
t
n
)
!+
.
(34)
52
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
3
