где
h
(
λ
;
t
;
t
n
) =
h
exp(
iλG
(
t, t
n
) ∆
W
(
t
n
))
i
.
(20)
Учитывая то
,
что для процесса с независимыми приращениями ха
-
рактеристическую функцию приращений можно представить через его
одномерную характеристическую функцию
,
имеем
h
(
λ
;
t
;
t
n
) =
h
exp(
iλG
(
t, t
n
) ∆
W
(
t
n
))
i
=
h
exp(
iλG
(
t, t
n
)
W
(
t
n
+1
))
i
h
exp(
iλG
(
t, t
n
)
W
(
t
n
))
i
.
(21)
Тогда
ln
h
(
λ
;
t
;
t
n
) =
= ln
h
exp(
iλG
(
t, t
n
)
W
(
t
n
+1
))
i −
ln
h
exp(
iλG
(
t, t
n
)
W
(
t
n
))
i
.
(22)
Подставив выражение
(22)
в формулу
(19),
получим
ln
g
1
(
λ
;
t
) =
lim
N
→∞
N
−
1
X
n
=0
ln
h
exp(
iλG
(
t, t
n
)
W
(
t
n
+1
))
i−
ln
h
exp(
iλG
(
t, t
n
)
W
(
t
n
))
i
∆
t
∆
t.
(23)
После замены в формуле
(23)
суммирования интегралом Ито и после
-
дующего потенцирования полученного выражения имеем
g
1
(
λ
;
t
) = exp
t
Z
0
χ
(
λG
(
t, τ
) ;
τ
)
dτ
,
(24)
где
χ
(
λG
(
t, τ
) ;
τ
) =
∂
∂τ
ln
h
1
(
λG
(
t, τ
) ;
τ
)
,
(25)
h
1
(
λG
(
t, τ
) ;
τ
) =
h
exp(
iλG
(
t, τ
)
W
(
τ
))
i
.
(26)
Для случая
,
когда процесс
W
(
t
)
является винеровским
(
см
.
формулу
(11)),
имеем
g
1
(
λ
;
t
) = exp
−
1
2
νλ
2
t
Z
0
G
2
(
t, τ
)
dτ
,
(27)
а для случая
,
когда он является пуассоновским
(
см
.
формулу
(13)) —
g
1
(
λ
;
t
) = exp
ν
t
Z
0
(
g
(
λG
(
t, τ
))
−
1)
dτ
.
(28)
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
3
51
