Для случая
,
когда ядро преобразования
(2)
имеет вид
(5),
формулы
(37), (41)
и
(42)
совпадают соответственно с выражениями
(10), (12)
и
(14),
полученными с помощью теории стохастических дифференциаль
-
ных систем
.
В общем случае
,
когда интегральное преобразование
(2)
не сводится к конечномерной системе дифференциальных уравнений
,
формулы
(37), (41)
и
(42)
описывают немарковский случайный процесс
.
Отметим
,
что условие
(9)
в общем случае для выражения
(42)
не выпол
-
няется
.
Пример немарковского процесса
,
описывающего фликкер
-
шум
.
Рассмотрим случай
,
когда ядро преобразования
(2)
имеет вид
G
(
t, τ
) =
1
√
t
−
τ
,
(43)
а процесс
W
(
t
)
является винеровским
.
Тогда на основании формулы
(27)
при переходе от расходящегося интеграла к аппроксимирующей
его конечной величине для одномерной характеристической функции
имеем
g
1
(
λ
;
t
) = exp
µ
−
1
2
νλ
2
ln
t
δt
¶
,
(44)
где
δt >
0
—
малая величина
.
Для
L
-
мерной характеристической функ
-
ции применение формулы
(42)
позволяет получить
g
L
(
λ
1
, . . . , λ
L
;
t
1
, . . . , t
L
) =
= exp
Ã
−
1
2
ν
Ã
L
X
l
=1
µ
λ
2
l
ln
t
δt
¶
+
+ 4
L
X
l,k
=1
l>k
µ
λ
l
λ
k
ln
√
t
l
+
√
t
k
√
t
l
−
t
k
+
δt
+
√
δt
¶
.
(45)
С помощью формулы
(44)
и
(45)
определим математическое ожида
-
ние и момент второго порядка случайного процесса
Z
(
t
)
:
h
Z
(
t
)
i
=
∂g
1
i∂λ
¯ ¯ ¯ ¯
λ
=0
= 0
,
(46)
h
Z
(
t
1
)
Z
(
t
2
)
i
=
∂
2
g
2
i∂λ
1
i∂λ
2
¯ ¯ ¯ ¯
λ
1
,λ
2
=0
= 2
ν
ln
µ
√
t
2
+
√
t
1
√
t
2
−
t
1
+
δt
+
√
δt
¶
;
(47)
54
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
3
