Оптимизация проведения предварительных исследований в теории форсированных испытаний - page 10

R(t ) = λ(t )Y (t ). Имеем
ER(t ) = 0, ER(s)R (t ) =
(1 − s) (1 − t )
¡(1 − s)2 + s2 ¢ ((1 − t 2 )+ t 2 )
s2
(1 − s)
(1 − t ) =
=
s2
(1 − s)2 + s2
(1 − t )2
(1 − t )2 + t 2 .
Теорема 2. Предельным распределением случайной величины
2√nT2 n является стандартное распределение Колмогорова–Смирнова
lim
n →∞
P ¡2√nT2 n < x¢ = P (sup |R(t )| < x ) = 1 − 2
∞
∑
k=1
e−2 k2x2.
Доказательство. Рассмотрим строго возрастающее преобразова -
ние τ =
t 2
(1 − t )2 + t 2 : [0, 1] → [0, 1] . Пусть t ( τ) — обратное преобра -
зование. Введем процесс W ( τ) = R(t ( τ)). Имеем
EW ( τ) = 0, EW (u)W ( υ) = ER(t (u))R (t ( υ)) =
=
t 2 (u)
(1 − t (u)) 2 + t 2 (u)
(1 − t ( υ))2
(1 − t ( υ))2 + t 2 ( υ)
=
= u Ã1 −
t 2 ( υ)
(1 − t ( υ))2 + t 2 ( υ)! = u(1 − υ), 0 6 u 6 υ< 1.
Следовательно, W ( τ) — стандартный броуновский мост. Очевид-
ным образом доопределяя R(t ) на отрезке [T , 1] через W ( τ), получим,
что R(t ) — процесс, полученный из W ( τ) простым изменением вре -
мени. В силу того, что функционал sup R (t ) инвариантен относительно
подобных преобразований, получим требуемый результат.
Таким образом , статистика (3) имеет известное предельное распре -
деление, что значительно упрощает ее использование . Следует, одна -
ко, заметить, что точное распределение можно удовлетворительно для
практики аппроксимировать асимптотическим начиная с n = 50 . . . 55
(расчеты были проделаны А. Антоновой, за что автор приносит ей бла -
годарность).
Метод троек . Во многих задачах (анализ регрессионных зависимо -
стей, проверка автомодельности форсированных режимов и др.) требу-
ется сравнить наработки, полученные в нескольких режимах. Рассмо-
трим случай двух форсированных режимов: ε1
∗ , ε2
∗ .
Обозначим ξ1
∗ , ξ2
∗ наработки, полученные до отказа в режимах ε1
∗ , ε2
∗
соответственно. Предположим, что справедлива система равенств
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана . Сер. "Естественные науки". 2003. № 2 37