h
n
¡
ν
1
,
ν
2
¢
=
=
2
√
n
Ã
Γ
µ
n
+
1
2
¶
Γ
¡
n
−
nt
2
−
2
nt
(
1
−
t
)
−
ε
1
√
n
−
ε
2
√
n
+
1
¢
Γ
(
n
+
1
)
Γ
µ
n
−
nt
2
−
2
nt
(
1
−
t
)
−
ε
1
√
n
−
ε
2
√
n
+
1
2
¶
−
−
2
n
−
2
nt
2
−
2
ε
1
√
n
−
2
nt
(
1
−
t
)
−
ε
2
√
n
2
n
!
∼
∼
2
√
n
Ã
(
1
−
t
)
Ã
1
−
ε
1
+
ε
2
2
(
1
−
t
)
2
√
n
+
o
µ
1
√
n
¶ !
−
1
+
t
+
2
ε
1
+
ε
2
2
√
n
!
→
→
ε
1
(
1
−
2
t
)
−
ε
2
t
(
1
−
t
)
.
Поскольку
ε
1
,
ε
2
сходятся к нормальным случайным величинам и
предельное отображение линейно
,
то утверждение доказано
.
Опустим
подробности обоснования предельного перехода
.
В работе
[8]
для различных механизмов цензурирования доказана
общая теорема о сходимости эмпирических процессов к непрерывным
гауссовским процессам на множествах вида
Γ
=
{
t
|
0
6
t
6
T
,
F
(
T
)
<
1
}
,
где
F
(
x
)
—
функция распределения совокупности
,
из которой извле
-
чена выборка
.
В данном случае это означает
,
что распределение
Y
n
(
t
)
слабо сходится к распределению гауссовского процесса
Y
(
t
)
такого
,
что
EY
(
t
) =
0
,
EY
(
s
)
Y
(
t
) =
s
2
(
1
−
s
)
(
1
−
t
)
,
0
6
s
6
t
6
T
<
1
.
Опуская довольно громоздкие доказательства
,
приведем лишь об
-
щую схему вывода предельного распределения
.
Лемма
2
.
Случайный процесс
b
P
Q
(
t
)
³
1
−
b
P
Q
(
t
)
´
2
+
³ b
P
2
Q
(
t
)
´
,
0
6
t
6
1
,
с
вероятностью
1
равномерно сходится к функции
λ
(
t
) =
1
−
t
(
1
−
t
)
2
+
t
2
.
Доказательство леммы очевидно в силу теоремы Гливенко и равно
-
мерной непрерывности функции
λ
(
t
)
на отрезке
[0,1].
Рассмотрим случайный процесс
R
2
n
(
t
) =
2
√
nS
2
n
(
t
)
, 0
6
s
6
t
<
1.
В
силу общих теорем сходимости
(
см
.,
например
,
работу
[9,
теорема
5.5])
предельное распределение
R
2
n
(
t
)
совпадает с распределением процесса
36 ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2
