Тогда окончательно
,
сохраняя члены до порядка
1
/
n
включительно
,
получим
K
n
(
s
,
t
) =
EX
n
(
s
)
X
n
(
t
)
−
EX
n
(
s
)
EX
n
(
t
)
∼
∼
(
1
−
t
)(
1
−
s
)
Ã
s
2
4
n
(
1
−
s
)
2
+
o
s
µ
1
n
¶ !
.
Рассмотрим процесс
Y
n
(
t
) =
2
√
nX
n
(
t
)
, 0
6
t
<
1.
Утверждение
.
Конечномерные распределения
Y
n
(
t
)
сходятся к
гауссовским распределениям
.
Доказательство
.
Проведем доказательство для одномерных рас
-
пределений
.
В результате испытаний одной пары образцов возможны
три исхода
:
A
1
= (
max
(
ξ
1
,
ξ
2
)
<
t
)
,
A
2
= (
min
(
ξ
1
,
ξ
2
)
<
t
,
max
(
ξ
1
,
ξ
2
)
>
t
)
,
A
3
= (
min
(
ξ
1
,
ξ
2
)
>
t
)
.
Обозначим
ν
1
,
ν
2
,
ν
3
количество появлений
A
1
,
A
2
,
A
3
соответственно
для
n
пар
.
Тогда
,
согласно центральной предельной теореме для поли
-
номиального распределения
,
вектор
ν
=
¡
ν
1
,
ν
2
¢
имеет асимптотически
нормальное распределение
,
причем
ν
1
−
nt
2
p
nt
2
(
1
−
t
2
)
∼
N
(
0
,
1
)
,
ν
2
−
2
nt
(
1
−
t
)
p
2
nt
(
1
−
t
) (
1
−
2
t
+
2
t
2
)
∼
N
(
0
,
1
)
,
cov
¡
ν
1
,
ν
2
¢
∼ −
2
t
2
p
2
t
(
1
−
2
t
+
2
t
2
)
.
Обозначим
ε
1
=
ν
1
−
nt
2
√
n
,
ε
2
=
ν
2
−
2
nt
(
1
−
t
)
√
n
.
Нетрудно видеть
,
что значения
Y
n
(
t
)
можно выразить через
ν
1
,
ν
2
:
Y
n
(
t
) =
h
n
¡
ν
1
,
ν
2
¢
=
=
2
√
n
Γ
µ
n
+
1
2
¶
Γ
¡
n
−
ν
1
−
ν
2
+
1
¢
Γ
(
n
+
1
)
Γ
µ
n
+
1
2
−
ν
1
−
ν
2
¶
−
2
n
−
2
ν
1
−
ν
2
2
n
.
Применяя при
n
→
∞
формулу Стирлинга для гамма
-
функции и под
-
ставляя вместо
ν
1
,
ν
2
их представление через
ε
1
,
ε
2
соответственно
,
по
-
лучим
ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2 35
