Оптимальный алгоритм оценивания углов прихода и числа сигналов в условиях параметрической априорной неопределенности - page 3

Для оценивания параметров сигналов , как правило, используется
метод максимального правдоподобия (МП ). Это обусловлено тем, что
асимптотически, т.е. при M → ∞, этот метод приводит к состоятельным,
эффективным и несмещенным оценкам параметров, т.е. является асим-
птотически оптимальным. При этом совместное распределение вероят-
ностей оценок параметров является нормальным со средними значени-
ями, равными оцениваемым параметрам, и корреляционной матрицей ,
обратной информационной матрице Фишера [3].
Пусть ~ϑ = (~A, ~ϕн, ~β, ~θ) — вектор всех неизвестных параметров ,
~ν = (~β, ~θ) — вектор информативных параметров . Оценку вектора ~ν
осуществим путем совместной максимизации функции правдоподобия
по вектору ~ϑ. Тогда для рассматриваемой задачи метод МП приводит
к следующему выражению для оценивания параметров:
W (~x| b
~ϑ) = sup
~ϑ
W ³~x| ~ϑ´ , (2)
где W ³~x |~ϑ´ — многомерная плотность распределения вероятностей
выборки ~x . Поскольку при построении различного типа автоматиче -
ских измерителей, как правило, используется гауссовская модель ана-
лизируемых случайных процессов [2], то
W ³~x|~ϑ´ =
1
(2 π)M /2 √det K
exp µ−
1
2 ³~x − ~s ³ ~ϑ´´ ∗ K−1 ³~x −~s³ ~ϑ´´ ¶ ,
где K — корреляционная (эрмитова) матрица комплексной выборки ~x;
символ ∗ означает комплексно-сопряженное транспонирование. Отме-
тим, что под корреляционной матрицей понимается матрица корреля -
ций для каждой квадратуры. Появление коррелированной выборки мо-
жет быть обусловлено появлением мешающих сигналов.
Очевидно , что выражение (2) может быть заменено эквивалентным
ему выражением для оценивания параметров :
B(~x; b
~ϑ) = inf
~ϑ
B(~x; ~ϑ), (3)
где B(~x; ~ϑ) =
1
2~s∗ (~ϑ)K−1~s(~ϑ) − Re ³~x ∗ K−1~s(~ϑ)´ — логарифмическая
функция правдоподобия.
Произведя замену Φn = An exp ( j ϕn ), Fmn = exp( j µm cos βn cos( θn −
− γm )), n = 1, 2, . . . , N, m = 1, 2, . . . , M, получаем
~s(~ϑ) = F~Φ.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана . Сер. "Естественные науки". 2003. № 2 63