Оптимальный алгоритм оценивания углов прихода и числа сигналов в условиях параметрической априорной неопределенности - page 5

Функция f (~x; ~ν) является нелинейной (в общем случае многоэкс-
тремальной) функцией на гиперкубе
D = ©~ν∈ R2N : βmin 6 νn 6 βmax, θmin 6 νn +N 6 θmax, n = 1, 2, . . . , Nª ,
для которой необходимо найти 2N -мерный глобальный максимум .
Пусть ~ν(y), y ∈ [ 0, 1], — непрерывное однозначное отображение от -
резка [0, 1] на гиперкуб D . В качестве такого отображения выбирают
кривую Пеано, удобную для численного построения разверток. Тогда
sup
~ ν∈D
f (~x ;~ν) = sup
y∈[0 , 1 ]
f (~x ;~ν(y)) ,
т.е. решение многомерной задачи максимизации (7) сводится к макси-
мизации одномерной функции f (~x;~ν(y)).
Для максимизации полученной функции f (~x;~ν(y)) можно приме-
нять многомерный обобщенный алгоритм глобального поиска [6]. Од -
нако этот алгоритм требует большого объема памяти для хранения
значений каждой итерации. Поэтому для поиска глобального максиму -
ма функции f (~x ;~ν(y)) воспользуемся методом одномерного случайного
поиска [7]. Получив окончательное максимальное значение функции
и используя неинъективную развертку типа кривой Пеано [6], опреде-
ляем точку глобального максимума, которую можно уточнить методом
деформированного многогранника [8]. Полученные точки максимума
являются искомыми оценками информативных параметров b
~β и b
~θ.
Следует отметить , что можно распараллелить вычисления для по -
иска максимума функции, если разбить гиперкуб D на небольшое число
k непересекающихся гиперкубов D i , таких что
k
S
i=1
D i = D и
k
T
i =1
Di = ∅ .
При этом каждая точка отрезка [0, 1] может быть неинъективно отобра -
жена на каждый из гиперкубов D i . Поэтому можно одновременно про-
вести одномерный случайный поиск для каждого гиперкуба Di , а затем
выбрать наибольшее из k полученных значений функции f (~x ;~ν(y )). Та -
кая процедура применима, если число локальных максимумов слишком
велико.
Укажем , что применение описанного алгоритма решения задачи
многомерной оптимизации позволяет существенно сократить время
нахождения глобального максимума по сравнению с методом перебо-
ра на крупной дискретной сетке значений аргументов функции (7) с
подъемами к точке локального экстремума из каждого узла этой сетки.
При рассмотрении алгоритма оценивания углов прихода сигналов
предполагалось, что число сигналов априори известно. При отсут -
ствии такой информации поиск максимума функции f (~x;~ν) по век-
тору параметров ~ν следует дополнить поиском по числу сигналов
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана . Сер. "Естественные науки". 2003. № 2 65