относительно оси, параллельной волокнам. Поэтому одна из главных
осей тензора его эффективной теплопроводности совпадает с этой
осью, причем две независимые компоненты тензора являются эффек-
тивными коэффициентами теплопроводности
λ
1
и
λ
3
композита в на-
правлениях поперек и параллельно волокнам.
Наиболее простую и достаточно достоверную оценку
λ
+
3
эффек-
тивного коэффициента теплопроводности
λ
3
можно получить из соот-
ношений теории смесей [9] в виде
e
λ
+
3
=
λ
+
3
/λ
m
= 1
−
C
V
+ ˉ
λ
3
C
V
(1
−
ˉ
r
2
) + ˉ
λ
•
3
C
V
ˉ
r
2
,
(1)
где
ˉ
λ
3
=
λ
◦
3
/λ
m
;
ˉ
λ
•
3
=
λ
•
3
/λ
m
;
ˉ
r
=
r
0
/r
v
,
r
0
и
r
v
— радиус серцевины и
наружный радиус волокна. Значение
λ
+
3
при
ˉ
r
= 0
достаточно хорошо
коррелирует с немногочисленными экспериментальными данными по
измерению величины
λ
3
в случае однородных волокон [13, 14]. Обрат-
ным по отношению к коэффициенту теплопроводности является коэф-
фициент термического сопротивления. Тогда из теории смесей следует
менее надежная оценка
1
/λ
−
3
= (1
−
C
V
)
/λ
m
+
C
(1
−
ˉ
r
2
)
/λ
◦
3
+
C
V
ˉ
r
2
/λ
•
3
,
или
e
λ
−
3
=
λ
−
3
/λ
m
= 1
/
(1
−
C
V
+
C
V
(1
−
ˉ
r
2
)
/
ˉ
λ
3
+
C
V
ˉ
r
2
/
ˉ
λ
•
3
)
.
(2)
Аналогичные оценки для эффективного коэффициента теплопро-
водности
λ
1
композита имеют вид
e
λ
+
1
=
λ
+
1
/λ
m
= 1
−
C
V
+ ˉ
λ
1
C
V
(1
−
ˉ
r
2
) + ˉ
λ
•
1
C
V
ˉ
r
2
;
(3)
e
λ
−
1
=
λ
−
1
/λ
m
= 1
/
(1
−
C
V
+
C
V
(1
−
ˉ
r
2
)
/
ˉ
λ
1
+
C
V
ˉ
r
2
/
ˉ
λ
•
1
)
,
(4)
где
ˉ
λ
1
=
λ
◦
1
/λ
m
;
ˉ
λ
•
1
=
λ
•
1
/λ
m
. Верхние индексы “
+
” и “
−
” в формулах
(1)–(4) обозначают верхнюю и нижнюю оценки значений
λ
1
и
λ
3
.
Действительно, опустив нижние индексы 1 и 3, получим
e
λ
+
−
e
λ
−
=
( ˉ
λ
•
+ 1
/
ˉ
λ
•
−
2)(1
−
C
V
)
C
V
ˉ
r
2
1
−
C
V
+
C
V
(1
−
ˉ
r
2
)
/
ˉ
λ
+
C
V
ˉ
r
2
/
ˉ
λ
•
+
+
( ˉ
λ
+ 1
/
ˉ
λ
−
2)(1
−
C
V
)
C
V
+ ( ˉ
λ
•
/
ˉ
λ
+ ˉ
λ/
ˉ
λ
•
−
2)(1
−
ˉ
r
2
)ˉ
r
2
1
−
C
V
+
C
V
(1
−
ˉ
r
2
)
/
ˉ
λ
+
C
V
ˉ
r
2
/
ˉ
λ
•
≥
0
,
так как значение каждой дроби в средней части этого соотношения
при положительном знаменателе и неотрицательном числителе так-
же будет неотрицательным. Сумма этих дробей равна нулю либо при
ˉ
λ
•
= ˉ
λ
= 1
, либо при
C
V
= 0
или при
C
V
= 1
и
ˉ
λ
•
= ˉ
λ
, т.е. в случае
однородного материала, когда верхняя и нижняя оценки совпадают и
равны точному значению
e
λ
3
= ˉ
λ
3
/λ
m
.
Верхние и нижние оценки значений
λ
1
и
λ
3
также можно по-
лучить, если воспользоваться двойственной вариационной формули-
ровкой стационарной задачи теплопроводности в неоднородном теле
78
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
